欧拉定理 & RSA算法数学原理

欧拉定理

如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

补充：公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形

定理一：

算术函数f如果满足对于任意两个互质的正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称f为积性函数（或乘性函数）。 如果对于任意两个正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称为完全积性函数。

定理二：

对于素数n，φ(n)=n−1，因为质数与小于它的每一个正整数都互质

定理三：

定理四：

如果n=pq，而且p,q互质，有φ（n）=φ（ p q）=φ（p）φ（q）=（p-1）（q-1）
这一条的证明要用到"中国剩余定理"：如果 a (a < p) 与 p 互质，b (b < q) 与 q 互质，c (c < pq) 与 pq 互质，则 c 与数对 (a , b) 是一一对应关系。由于 a 的值有φ（p）种可能，b 的值有φ（q）种可能，则数对（a,b）有φ（p）φ（q）种可能，而c的值有φ（pq）种可能，所以φ（pq）=φ（p）φ（q）

费马小定律

欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互