什么是时间序列互相关分析（CCF）

要理解时间序列互相关分析（Cross-Correlation Analysis, CCF），需先明确其与“自相关”的核心区别：自相关（ACF/PACF）分析单个时间序列内部的关联（如今天的温度与昨天的温度），而互相关分析两个不同时间序列之间的线性关联（如今天的温度与今天的用电量），尤其关注“滞后关系”（如今天的广告投入与下周的销售额）。

一、CCF的核心定义与本质

1. 定义：衡量两个序列的线性关联与滞后关系

对于两个平稳时间序列$X_t$（如广告投入）和$Y_t$（如销售额），滞后k阶的互相关系数（Cross-Correlation Coefficient, CCF） 衡量的是：
$X$的第$t$期观测值（$X_t$）与$Y$的第$t+k$期观测值（$Y_{t+k}$）之间的标准化线性相关程度，记为${\rho }_{XY}(k)$。

• 滞后阶数k的含义：这是CCF的核心，需重点区分正负：
  • $k=0$：同期相关，即$X_t$与$Y_t$（同一时期的两个序列）的关联（如当天温度与当天用电量）。
  • $k>0$：X滞后Y（或Y超前X），即$X_t$与$Y_{t+k}$（用X的当期值关联Y的未来k期值），例如$k=1$时，$X_t$与$Y_{t+1}$（今天的广告投入与明天的销售额）。
  • $k<0$：X超前Y（或Y滞后X），即$X_t$与$Y_{t+k}$（用X的当期值关联Y的过去|k|期值），例如$k=-1$时，$X_t$与$Y_{t-1}$（今天的客流量与昨天的拥堵指数）。

2. 为什么需要CCF？——解决“两个序列如何关联”的核心问题

在实际场景中，我们常需回答：

• 温度（X）和用电量（Y）是否相关？相关强度如何？
• 广告投入（X）是影响当期销售额（Y），还是滞后1周/2周？
• 客流量（X）和拥堵指数（Y），是前者先变还是后者先变？

CCF通过量化“不同滞后阶数的相关系数”，直接回答上述问题，是时间序列联动分析的基础工具。

二、CCF的原理：计算与关键前提

1. 计算逻辑：标准化消除量纲影响

互相关系数的本质是“协方差的标准化”——由于两个序列可能具有不同单位（如X是“万元”，Y是“件”），直接用协方差无法比较相关强度，需除以两者的标准差，将结果约束在**[-1, 1]** 之间（与Pearson相关系数一致）。

（1）总体互相关系数（理论值）

若$X_t$和$Y_t$为平稳序列，且满足：

• 均值：${\mu }_X=E(X_t)$，${\mu }_Y=E(Y_t)$（常数，平稳性要求）
• 方差：${\sigma }_X^2=Var(X_t)$，${\sigma }_Y^2=Var(Y_t)$（常数，平稳性要求）

则滞后k阶的总体互相关系数为：
ρXY(k)=Cov(Xt,Yt+