树状数组

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已于 2024-03-21 09:36:17 修改

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文章标签：算法

于 2024-03-19 10:17:37 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Meng_815/article/details/136824877

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文章介绍了如何利用C++编程语言实现树状数组（BITree），通过计算低有效位来维护前缀和，进而求解序列中的逆序对数量。通过`lowbits`函数找到最后一个1的二进制表示，`Update`和`GetSum`函数分别用于更新和查询树状数组。

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lowbit(x) = x & (-x)

查找当前元素所对应二进制的最后一个1。原理利用负数的补码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define     lowbits(x)      ((x) & (-x))
const int MAX=8;
vector<int> a(MAX+1,0);
vector<int> BITree(MAX+1,0);                      		//前缀和
void Update(int id,int new_data){               		//维护数据
    int temp=id;
    int increse=new_data-a[id];                 		//获取修改结点的增量
    while(temp<=MAX){
        BITree[temp]+=increse;                  		//对每个父节点都要修改增量
        temp+=lowbits(temp);                    		//向前反推父节点直到根节点停止
    }
}
int GetSum(int id){                             		//前缀和
    int sum=0;      int temp_id=id;
    while(temp_id>0){
        sum+=BITree[temp_id];
        temp_id-=lowbits(temp_id);
    }
    return sum;
}
int main(void){
    for(int i=1;i<=MAX;i++)
        Update(i,i);
    printf("区间[2,6]的和：%d",GetSum(6)-GetSum(2-1));	//求SubArr=GetSum[j]-GetSum[i-1]
}

创建BITree数组可以调用Updata函数

使用树状数组求序列的逆序对

树状数组求解的思路：开一个能大小为这些数的最大值的树状数组，并全部置0。从头到尾读入这些数，每读入一个数就更新树状数组，查看它前面比它小的已出现过的有多少个数sum，然后用当前位置减去该sum，就可以得到当前数导致的逆序对数了。把所有的加起来就是总的逆序对数。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[500005],b[500005],n;
//a是原序列，b是树状数组，当a[]数组元素值很大时，b数组开的很大
//假如a[i]的最大值是2100000000，那么b数组就得开b[2100000000+7]
//超出范围，需要离散化 
int lowbit(int x){
 return x&(-x);
}
void add(int x){
 while(x<500005){
  b[x]++;
  x+=lowbit(x);
 }
}
int  getsum(int x){
 long long sum=0;
 while(x>0){
  sum+=b[x];
  x-=lowbit(x);
 }
 return sum;
}
int main()
{
 long long n,i,ans;
 while(cin>>n){//n为数的总数.
  ans=0;
  memset(b,0,sizeof(b));//给b数组赋初值
  /* 顺着扫描原序列 
  
  */
   
  for(i=1;i<=n;i++)
     cin>>a[i];
//倒序扫描原序列
  for(i=n;i>=1;i--){
     add(a[i]);
     ans+=getsum(a[i]-1);//统计出比a[i]小的数的个数，只不过是用树状数组统计
  }
  cout<<ans<<endl;
 }
}