RSA已知e,d和n,分解N

本文分享了一次密码学实验的经历,面对已知e、d、N的RSA密钥分解难题,作者尝试解决未果后,在DIManagementHome网站找到了有效的算法资源。

本人以后不再在优快云发表文章了,已有的文章也会改为博客园链接。

点击此处查看原文,以下为原文摘要。

这次的密码学实验有一个已知 e e e d d d N N N ,分解 N N N 的问题,想了很久(其实没想多久,试了一下就放弃了),然后就到网上找资料。找到了一个很好用的网站,DI Management Home,都是关于密码学的,里面就有关于这个问题的算法[^1]。

### RSA解密方法:已知 n、e、c 时明文 在RSA加密算法中,已知公钥 (n, e) 密文 c 的情况下,要解密得到明文 m,需要满足以下条件步骤: #### 1. RSA的基本数学关系 RSA的核心数学关系为: \[ c \equiv m^e \mod n \] 其中: - \( c \) 是密文, - \( m \) 是明文, - \( e \) 是公钥指数, - \( n \) 是模数。 为了解明文 \( m \),需要找到私钥 \( d \),使得: \[ d \cdot e \equiv 1 \mod \phi(n) \] 其中 \( \phi(n) = (p-1)(q-1) \),而 \( n = p \cdot q \)。因此,分解 \( n \) 成两个素数 \( p \) \( q \) 是关键[^2]。 #### 2. 分解 n 得到 p q 如果能够将 \( n \) 分解为两个大素数 \( p \) \( q \),则可以计算出 \( \phi(n) \): \[ \phi(n) = (p-1)(q-1) \] #### 3. 计算私钥 d 利用扩展欧几里得算法,解 \( d \) 满足: \[ d \cdot e \equiv 1 \mod \phi(n) \] #### 4. 解密密文 c 最后,使用私钥 \( d \) 对密文 \( c \) 进行解密: \[ m \equiv c^d \mod n \] --- ### 示例计算 假设已知 \( n = 143 \),\( e = 7 \),\( c = 59 \)。 #### 步骤 1:分解 n 尝试将 \( n = 143 \) 分解为两个素数的乘积。经过测试可得: \[ 143 = 11 \cdot 13 \] 因此,\( p = 11 \),\( q = 13 \)[^3]。 #### 步骤 2:计算 \( \phi(n) \) 根据公式 \( \phi(n) = (p-1)(q-1) \): \[ \phi(143) = (11-1)(13-1) = 10 \cdot 12 = 120 \] #### 步骤 3:计算私钥 d 解 \( d \) 满足: \[ d \cdot e \equiv 1 \mod \phi(n) \] 即: \[ d \cdot 7 \equiv 1 \mod 120 \] 通过扩展欧几里得算法,可以得 \( d = 103 \)[^2]。 #### 步骤 4:解密密文 c 使用私钥 \( d \) 对密文 \( c \) 进行解密: \[ m \equiv c^d \mod n \] 即: \[ m \equiv 59^{103} \mod 143 \] 通过快速幂算法计算: ```python def fast_pow(base, exp, mod): result = 1 base = base % mod while exp > 0: if exp % 2 == 1: result = (result * base) % mod base = (base * base) % mod exp //= 2 return result m = fast_pow(59, 103, 143) print(m) # 输出结果为 85 ``` 最终解密得到的明文为 \( m = 85 \)[^3]。 --- ### 注意事项 如果无法分解 \( n \) 或者无法有效计算 \( \phi(n) \),则无法直接解私钥 \( d \)。此时,可能需要借助其他攻击手段(如Coppersmith攻击)来推导部分信息[^1]。 ---
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