今天是2024年1月28日，是我的十六岁生日，也是第一次信竞集训结束的日子。
十天的集训，收获很多，今天在这里进行一下总结，有故事，有板子，也有心得和创新。
一.心得
摘要：10天内学习了如下的PPT内容
1.c++基础语言（时空复杂度，语言基础）
2.STL和数据结构（3个函数，树，堆，单调队列，并查集）
3.基础算法（贪心，分治）选讲（装载、背包、渡河、区间，排序、染色）
4.Dp选讲（Dfs、背包（各种）、LIS、LCS）
5.基础图论（遍历、欧拉路径回路、拓扑、最短Floyd、Dijkstra、spfa、tarjan）
6.基础数论（素数定理、筛法、整除、同余：gcd||exgcd、逆元、CRT、拓展CRT、欧拉函数、莫比乌斯函数、Lucas定理）
二.板子（各种）
1.时间复杂度的判断：
2.变量范围：
3.运算符：
4.输入输出：
5.vector：
头文件：<vector> vector支持随机存取，甚至你完全可以把它视为一个元素个数可以变化的数组。
Vector<int> a 定义一个存放int的vector a
v.at(i)：返回索引i所标识的元素。对i会进行越界检查。
v[i]：返回索引i所标识的元素，和数组用法几乎完全相同。对i不进行越界检查。
v.front()：返回第一个元素。不检查第一个元素是否存在。
v.back()：返回最后一个元素。不检查最后一个元素是否存在。
v.insert(pos, e)：在pos位置插入元素e的副本，并返回新元素位置。
v.insert(pos, n, e)：在pos位置插入n个元素e的副本。
v.insert(pos, begin, end)：在pos位置插入区间[begin, end)内所有元素的副本。 注意，以上三种操作涉及大量元素的移动，可能会严重影响效率。
v.push_back(e)：在尾部添加一个元素e的副本。
v.reserve(n)：扩大容量为n。
6.set：
Set<int> s 创建一个储存int的set s
begin() 返回set容器的第一个元素的迭代器
end() 返回set容器的最后一个元素的迭代器
clear() 删除set容器中的所有的元素
empty() 判断set容器是否为空
size() 返回当前set容器中的元素个数
erase(iterator) ,删除迭代器iterator指向的值
erase(first,second),删除迭代器first和second之间的值
erase(key_value),删除键值key_value的值
count() 用来查找set中某个某个键值出现的次数。因为一个键值在set只可能出现0或1次，这样就变成了判断某一键值是否在set出现过了。
find() ，返回给定值的迭代器，如果没找到则返回end()。
insert(key_value); 将key_value插入到set中
lower_bound(key_value) ，返回第一个大于等于key_value的定位器
upper_bound(key_value)，返回最后一个大于key_value的定位器
7.迭代器
set::iterator it; //迭代器的创建
it=s.find(5) ; //迭代器的定向
it++; //迭代器移向容器下一个元素
printf（”%d\n”,*it); //输出迭代器指向的值
for(it=s.begin();it!=s.end();it++) //容器的遍历 Printf(“%d “,*it);
8.map
map<int,string> m 建立一个key值为int，value值为string的map m
m.at(3)或m[3]：返回一个引用，指向键为3时的对应值。注意，它和数组下标完全不是一回事儿！
如果元素不存在，map会自动建立这个元素。
m.count(3)：返回s中键为3的具体数目。但对于map来说，返回值不是0就是1。
m.find(3)：返回指向键为3的元素的迭代器。如果不存在，则返回m.end()。
m.empty()：判断映射是否为空映射。
m.size()：返回映射的元素数量。
m.insert(pair)：将元素插入到set中。pair的first是键，second是值。
可以定义一个pair：pair <int, string> p(10, "Hello"); 也可以用make_pair（<utility>）建立一个pair：make_pair(10, "Hello");
m.insert(begin, end)：将区间[begin, end)中的值插入到s中。该区间应该是map类型的。 m.erase(e)：将键为e的元素删除。返回值为被删除的e的数量（对于multimap来说，被删除的可能不止一个元素）。
m.erase(pos)：将pos处的元素删除。
m.erase(begin, end)：将[begin, end)处的元素删除。
9.二叉树的遍历
//二叉树的先序、中序、后续遍历
void dfs(int x)
{
printf("%d\n",x);
if(ls[x])
dfs(ls[x]);
if(rs[x])
dfs(rs[x]);
}
void dfs(int x)
{
if(ls[x])
dfs(ls[x]);
printf("%d\n",x);
if(rs[x])
dfs(rs[x]);
}
void dfs(int x)
{
if(ls[x])
dfs(ls[x]);
if(rs[x])
dfs(rs[x]);
printf("%d\n",x);
}
//二叉树的层次遍历
void bfs(int x)
{
q[top ++] = x;
for(int i = 1;i <= top;i ++)
{
int now = q[i];
printf("%d\n",now);
if(ls[now])
q[top ++] = ls[now];
if(rs[now])
q[top ++] = rs[now];
}
}10.在堆中插入元素，求最大值
//堆，插入元素
void insert(int x)
{
int now = n ++;
heap[now] = x;
while(now != 1 && head[now] > heap[now] / 2)
swap(head[now],head[now / 2]);
now /= 2;
}
//求最大值
int top()
{
return head[1];
}删除最大值
//删除最大值
void del()
{
heap[n --] = heap[1];
int now = 1;
while(heap[now] < max(heap[now * 2],head[now * 2 + 1]))
{
if(heap[now] < head[now * 2])
swap(head[now],heap[now * 2]);
now *= 2;
if(heap[now] < head[now * 2 + 1])
swap(head[now],heap[now * 2 + 1]);
now = now * 2 + 1;
}
return;
}11.单调队列
priority_queue <int,vector<int>,less<int> > q； //定义大根堆q （可简化为priority_queue <int> q;)
priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q； //定义小根堆q
top() 访问队头元素
empty() 队列是否为空
size() 返回队列内元素个数
push(x) 插入元素x
pop() 弹出队头元素
12.单调队列输出最大值
//单调队列输出最大值
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
if(q[head] <= i - m)
head ++;
while(head <= tail && a[q[tail]] < a[i])
tail --;
q[tail ++] = i;
ans[i] = a[q[head]];
}
for(int i = m;i <= n;i ++)
{
cout << ans[i];
}13.并查集的查询和合并
//并查集的查询和合并
int find(int x)
{
return fa[x] = x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void marge(int x,int y)
{
int u == find(x),v = find(y);
if(u == v)
return;
if(rk[u] > rk[v])
swap(u,v);
fa[u] = v;
rk[v] += rk[u] == rk[v];
}14.贪心分治
重在思想（bushi）
好像真的没有什么板子
15.Dp思想
关键词：状态，转移
动态规划的两步：
1.设计状态
2.构建状态转移方程
数字金字塔
//数字金字塔
for(int i = n;i;i --)
{
for(int j = 1;j <= i;j ++)
{
if(i == n)
f[i][j] = a[i][j];
else
f[i][j] = a[i][j] + max(f[i + 1][j],f[i + 1][j + 1]);
}
}
//O(n^2)搜索的对比
//搜索的对比
int dfs(int x,int y)
{
if(x == n)
return a[x][y];
return a[x][y] + max(dfs(x + 1,y),dfs(x + 1,y + 1));
}
int dfs(int x,int y)
{
if(x == n)
return a[x][y];
if(vis[x][y])
return f[x][y];
vis[x][y] = 1;
return f[x][y] = a[x][y] + max(dfs(x + 1,y + 1));
}01背包
//01背包
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = m;i >= w[i];j --)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}完全背包
//完全背包
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = w[i];i <= m;j ++)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - w[i]] + v[i]);
}
} 背包计数
//背包计数
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = m;j >= w[i];j --)
{
dp[j] += dp[j - w[i]];
}
}多重背包
//多重背包
for(int i = 1;i <= n1;i ++)
{
cin >> a >> b >> c;
for(int k = 1;k <= c;k <<= 1)
{
v[u ++] = k * a;
w[u] = k * b;
c -= k;
}
if(c)
v[++u] = a * c;
w[u] = b * c;
} 16.基础图论
之前写过了
17.基础数论
素数定理
算数基本定理
朴素筛、埃氏筛、欧拉筛
//朴素筛、埃氏筛、欧拉筛
for(int i = 1;i <= sqrt(n);i ++)
{
if(n % i == 0)
p[n] = 0;
}
p[n] = 1;
//O(sqrt(n))
for(int i = 2;i <= n;i ++)
p[i] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(p[i])
for(int j = i * 2;j <= n;j += i)
p[j] = 0;
}
//O(nloglogn)
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(!vis[i])
p[pn ++] = i;
for(int j = 1;j * p[j] <= n;j ++)
{
vis[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0)
break;
}
}
//O(n)整除定理
a|b, b|c −> a|c
a|b, a|c −> a|s×b+t×c
a|b, b|a −>|a|=|b|
gcd
//gcd
int gcd(int x,int y)
{
return y == 0 ? x : gcd(y,x % y);
}
//O(log(a + b))同余理论
整数 a,b 满足 m|a-b ，那么称 a 和 b 在模 m 下同余，记作 a ≡b (mod m)
对于 a ≡b (mod m) ，若 d|m ，则 a ≡b (mod d)
对于 a ≡b (mod m) ，若 d|m,d|a,d|b ，则 a/d ≡b/d (mod m/d)
对于 a ≡b (mod m) ，有 gcd(a,m)=gcd(b,m)
对于质数 m_1 和 m_2 ，若 gcd(m_1,m_2)=1 ，则 {m_2x_1+m_1x_2 mod m_1m_2|x_1,x_2∈ ℤ}= {x mod m_1m_2|x∈ ℤ}
exgcd
//exgcd
void exgcd(int a,int b,int &g,int &x,int &y)
{
if(!b)
x = 1,y = 0,g = a;
else
{
exgcd(b,a % b,g,y,x);
y -= x * (a / b);
}
}
//O(log(a + b))同余原则+乘法逆元+两个定理
ax+by=gcd(a,b)->a(x*(z/gcd(a,b)))+b(y*(z/gcd(a,b)))=z
可以看出有解的充要条件是gcd(a,b)|z
对于正整数a，若存在s使as=1(mod m)
记 s 是 a 在模 m 下的逆元，即 s=a^−1 (mod m)
a存在逆元的充要条件：(a,m)=1
这就是伟大的————费马小定理和威尔逊定理
费马小定理：若 p 是质数，则对于任意整数 a 有 a^p=a (mod p)
威尔逊定理：若 p 是质数，则有 (p−1)!=−1 (mod p)
//线性逆元
//k*i+r=0(mod m)
//i^(-1)=-kr(mod m)
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i <= p;i ++)
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
//O(n) CRT
使用exgcd进行合并
欧拉函数
性质：
1.积性函数！ （什么是积性函数？） 积性函数：若对任意互质的两个数m和n有f(m*n)=f(m)*f(n)，则 f(x)是积性函数。若对任意两个数（不要求互质）都有 f(m*n)=f(m)*f(n)，则f(x)是完全积性函数。
2.对质数p， φ(p)=p-1。
3. ⼩于n的数中，与n互质的数之和为φ(n)*n/2 (n>1)。
4. n的所有因数的欧拉函数之和等于n
线性筛带来的欧拉函数
//线性筛欧拉函数
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(!vis[i])
p[pn ++] = i;
phi[i] = i - 1;
for(int j = 1;i * p[j] <= n;j ++)
{
vis[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0)
{
phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
break;
}
phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
}
}莫比乌斯函数
//莫比乌斯函数
mu[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(!vis[i])
p[pn ++] = i;
phi[i] = -1;
for(int j = 1;i * p[j] <= n;j ++)
{
vis[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0)
{
mu[i * p[j]] = 0;
break;
}
phi[i * p[j]] = -phi[i];
}
} 欧拉定理（降幂原则）
欧拉定理：若 m 是正整数，gcd(a,m)=1 ，则有 a^φ(m)=1 (mod m)
可以看出费马小定理是欧拉定理的特殊情况
降幂公式：若 m,n 是正整数，n>φ(m) ，则有 a^n=a^n mod φ(m) + φ(m) (mod m)
Lucas定理
给定质数 p ，求 (n¦k) % p 。 (n¦k)=(n/p¦k/p)(n%p¦k%p)
相当于把 n 和 k 拆成 p 进制数，然后每一位对应求组合数，最后再乘起来
快读
//快读
int read()
{
int x = 0,f = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9')
{
if(ch == '-')
f = -1;
ch = getchar();
}
while(ch >= '0' && ch <= '9')
x = x * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return x * f;
} 快写
//快写
void write(int x)
{
if(x < 0)
putchar('-'),x = -x;
if(x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
return;
}三.创新
1.廿四筛似乎还未过时？？
2.Tarjan新证明，至少新开了一个思路
四.回首
第一次OI集训，十天，说实话，很烧脑，整天都处于连轴转的状态，好在后期讲的图论数论我比较喜欢，如果是Dp或STL的话可能直接就爆零了（bushi）
第一天的基础知识对于我是一个很舒服的起点，唤醒了我可能一个半月没进行OI的感觉。第二天的STL，个人认为是状态最不好的一天，原本基础是不好的，做题还有回家还没有订正总结，感觉一知半解吧，它直接导致我后面几天思路就算快了也并没有很快AC，未来的3周STL优先级应该是最高的，毕竟去了HL不能丢廿四的脸！！！随后的分治、贪心，初中和秋季学过，一切正常，但是回家复习时发现排序也是我的一个短板！！要及时订正！！后来的Dp（背包），很难很难，尤其是区间 DP 和状压 DP，这就导致前面的01背包的自信跌没了？？也是一个重点啊！！
个人向订正，加强方向：
STL重点中的重点，这是一个承前启后的知识！！！
Dp，顺带着全看了吧，反正十分重要！！！
排序，认真分析KHIN给过的代码！！
以上是问题，但是呢，GG说过，要鼓励自己，所以我也简单说说十天中有的和要发扬的优点：
1.准时早起，最自豪的一点！！基本每天都是前三，没有自吹自擂成分啊，家就是近（doge）
2.能有定力
3.自己编样例
4.提高了分析在做题过程中的比例，而不是敲代码
同样，我也有除编程之外的问题：
1.中午休息后不能很快进入状态
2.只注意程序的设计，不注重调试
3.求助次数太多了，缺少足够的自己思考
4.有时不求甚解（尤其是不喜欢的知识，记住：知识没有喜不喜欢，只有认不认真！！！）
五.故事
十天的精彩太多太多了
大家第一天的睡姿（doge）
OI男团特色叫醒服务（@Nihachu）
@类人群星闪耀时的小~~乐器
OI嘲哳合唱团
思韵噪音民乐团
明目张胆的跑饭（甚至全程第一人称录像）
寻找解封的教室
去拜访其他学科竞赛（当然也是在他们休息的时候）
在高三学哥学姐们面前公然看手机
特色桌面
OI的迁徙
1300多分钟的录屏
我写这些，只是不希望忘记他们，毕竟，在那烧脑的十天里，因为这些事情，我们更加热爱OI
六.感动
十天的集训，大家真正熟识起来，个人认为是大家开始互相叫网名（doge），每个人也都不惧提问，乐于奉献，在此感谢（排名不分先后）：
A2391833679
Snowycat1234
Liuooo
Feng_xiaomo
Qwehhh
Wrose
类人群星闪耀时
潇寞
Viki617
Nihachu
耐心解答、指出我的问题。
不知是不是冥冥中的安排，今天，最后一天集训，是我的生日，一早便收到了大家的祝福，后来更是共同为我买了蛋糕。午风中，我面对大家的祝福，许下了我自己的愿望，虽然我不会直接告诉你们，请不用担心，一定有对你们的祝福！
七.结语
在这里写下可以告诉你们的祝福吧：
祝大家：
冒泡排序，选择排序，插入排序，快速排序，堆排序，归并排序，希尔排序，桶排序，基数排序新年帮您排忧解难。
有向图，无向图，有环图，无环图，完全图，稠密图，稀疏图，拓扑图祝您新年宏图大展。
最长路，最短路，单源路径，所有节点对路径祝您新年路路通畅。
二叉树，红黑树，van Emde Boas树，最小生成树祝您新年好运枝繁叶茂。
最大流，网络流，标准输入流，标准输出流，文件输入流，文件输出流祝您新年顺顺流流。
线性动规，区间动规，坐标动规，背包动规，树型动归为您的新年规划精彩。
散列表，哈希表，邻接表，双向链表，循环链表帮您在新年表达喜悦。
O(1), O(log n), O(n), O(nlog n), O(n^2), O(n^3), O(2^n), O(n!)祝大家新年渐进步步高。
区间DP，树形DP，数位DP，概率DP，分数规划，线性规划，教你规划人生；
平衡树，划分树，归并树，k-d树，主席树，树套树，替罪羊树，让你运筹帷幄。
BFS，DFS，A*，记忆化，使你在大千世界里寻找难觅幸福；
Bellman-Ford，Johnson，Floyd，Dijkstra，让你在匆匆人生中走上成功捷径。
高斯消元，约当消元，帮你拨云见雾；
AC自动机，后缀自动机，有限状态自动机，助您理清头绪。
RMQ，LCA，让您节节高升。
祝大家新春快乐，AK Forever，24OI-24k24k，曜宁学长在PKU学业顺遂，大家共同奔赴下个赛季，制造属于我们的辉煌。也祝Merlin·Aquarius·Mark·Uranus·Lee（李墨林）在未来的学习，OI都讲述属于自己的故事。祝我所有的OI和非OI的朋友走向无数地方和无尽岁月，搭着肩环游无法遗忘的光辉世界。奋斗三周，HL再见！
我和我最后的倔强
握紧双手绝对不放
下一站是不是天堂
就算失望 不能绝望
我和我骄傲的倔强
我在风中大声地唱
这一次为自己疯狂
就这一次 我和我的倔强
@Merlin Lee
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