【BZOJ2326】数学作业（HNOI2011）-递推+矩阵快速幂

最新推荐文章于 2019-02-19 18:46:02 发布

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂优化递推式的高效算法，并提供了完整的代码实现。适用于求解大数递推问题，如Concatenate(i)对m取模后的结果。

测试地址：数学作业
做法：本题需要用到递推+矩阵快速幂。
令 $f(i)$ 为 $Concatenate(i)$ 对 $m$ 取模后的结果，很快能得到一个递推式：
$f(i+1)=f(i)\times 10^k+i+1$
注意到所需的信息： $f(i)$ 和 $i+1$ ，它们是可以同时递推的，所以我们就可以构造一个转移矩阵，使得能从向量 $\{f(i),i+1,1\}$ 转移到 $\{f(i+1),i+2,1\}$ ，应该很容易构造，实在不会请看代码。而 $k$ 的话最大也就 $19$ ，因此我们只需对于 $k=1,2,...$ 的每段都求一遍矩阵快速幂即可，时间复杂度为 $O(\log^2n)$ 。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
ll n,mod;
struct matrix
{
    ll mat[3][3];
}M[110],S;

void mult(matrix &S,matrix A,matrix B)
{
    memset(S.mat,0,sizeof(S.mat));
    for(int i=0;i<=2;i++)
        for(int j=0;j<=2;j++)
            for(int k=0;k<=2;k++)
                S.mat[i][j]=(S.mat[i][j]+A.mat[i][k]*B.mat[k][j])%mod;
}

void power(matrix &S,ll p)
{
    int i=0;
    while(p)
    {
        if (p&1) mult(S,M[i],S);
        i++;p>>=1;
    }
}

int main()
{
    scanf("%llu%llu",&n,&mod);

    ll now=0,limit=10;

    memset(S.mat,0,sizeof(S.mat));
    S.mat[0][0]=S.mat[1][1]=S.mat[2][2]=1;

    while(now<n)
    {
        ll p;

        if (limit<=n) p=limit-1-now;
        else p=n-now;

        M[0].mat[0][0]=limit%mod,M[0].mat[0][1]=1,M[0].mat[0][2]=0;
        M[0].mat[1][0]=0,M[0].mat[1][1]=1,M[0].mat[1][2]=1;
        M[0].mat[2][0]=0,M[0].mat[2][1]=0,M[0].mat[2][2]=1;
        for(int i=1;i<=70;i++)
            mult(M[i],M[i-1],M[i-1]);

        power(S,p);

        now=limit-1;
        limit*=10;
    }
    printf("%llu",(S.mat[0][1]+S.mat[0][2])%mod);

    return 0;
}