【BZOJ3105】新Nim游戏（CQOI2013）-博弈论+异或线性基+贪心

最新推荐文章于 2021-02-23 00:27:52 发布

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本文探讨了新Nim游戏的最优策略，结合博弈论、异或线性基及贪心算法，确保先手玩家获胜。通过求解线性无关组并采用特定的贪心策略，实现取走最少数量的火柴。

测试地址：新Nim游戏
做法：本题需要用到博弈论+异或线性基+贪心。
首先根据博弈论的基本知识，标准的Nim游戏中，只要所有火柴堆内的火柴数目的异或值为 $0$ ，那么先手必败，否则先手必胜。而这个新的游戏在经过前两轮后就是一个由我们先手的标准Nim游戏，那么后手为了胜利，必然会留下若干堆火柴，使得它们的异或值为 $0$ ，而我们为了胜利，就不能提供后手这个机会，那么我们就要使得我们选完后，留下的火柴堆不存在一个子集，使得子集内火柴数的异或和为，这就等价于求一个线性无关组。又因为我们要求取走的火柴数最小，所以就是要求留下的火柴数尽量多，用类似BZOJ2460的贪心方法做即可。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxbit=31;
int n,b[50];
ll ans=0;
struct forsort
{
    int a,b;
}q[110];

bool cmp(forsort a,forsort b)
{
    return a.b>b.b;
}

void work()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=maxbit;j>=0;j--)
            if ((q[i].a>>j)&1)
            {
                if (b[j]) q[i].a^=b[j];
                else
                {
                    b[j]=q[i].a;
                    ans-=(ll)q[i].b;
                    for(int k=0;k<j;k++)
                        if (b[k]&&((b[j]>>k)&1)) b[j]^=b[k];
                    for(int k=j+1;k<=maxbit;k++)
                        if ((b[k]>>j)&1) b[k]^=b[j];
                    break;
                }
            }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&q[i].a);
        ans+=(ll)q[i].a;
        q[i].b=q[i].a;
    }

    sort(q+1,q+n+1,cmp);
    work();
    printf("%lld",ans);

    return 0;
}