【POJ2417】Discrete Logging-BSGS算法

最新推荐文章于 2020-01-31 14:59:38 发布

Maxwei_wzj

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分类专栏：数学-数论数据结构-哈希表

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本文介绍了解决离散对数问题的BSGS算法。通过将问题转换为查找等式的解，利用分块思想优化搜索过程，实现高效求解。文中详细阐述了算法原理，并附带实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

测试地址：Discrete Logging
题目大意：给定质数 $P$ 和小于 $P$ 的两个正整数 $B,N$ ，求满足 $B^L\mod P=N$ 的最小的非负整数 $L$ 。
做法：本题需要用到BSGS算法。
由费马小定理我们得知，最小的答案 $L$ 一定满足 $0\le L<P$ ，但是直接枚举是 $O(P)$ 的，并不能承受。
我们令 $L=i\times m+j$ ，那么在模 $P$ 意义下， $B^{i\times m}\equiv N\times B^{-j}$ 。那么我们只要先从小到大枚举 $j$ ，把所有可能的右边的结果存到哈希表里（本题不能用map，会T），然后再从小到大枚举 $i$ ，一旦 $B^{i\times m}$ 在哈希表里存在，那么我们就找到了最小的 $L$ 。
分析上述算法，枚举 $i$ 是 $O(P/m)$ 的，枚举 $j$ 是 $O(m)$ 的，所以 $m$ 太小或太大都会导致TLE，所以我们令 $m=\sqrt P$ ，这样两边枚举都是 $O(\sqrt P)$ 的，这样我们就巧妙地使用分块思想解决了这一问题，这就是BSGS算法。
至于这个算法为什么叫Baby Step Giant Step…我个人觉得上述枚举 $j$ 的过程，每次都跳 $B^{-1}$ ，所以叫Baby Step，而上述枚举 $i$ 的过程，每次都跳 $B^m$ ，所以叫Giant Step，个人理解，不喜勿喷。
没想到POJ居然不支持C++11…CE了3发，可能是我CE最多的一道题…（卒）
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define hashsiz 1000007
using namespace std;
ll p,b,n,mp[hashsiz+10],hash[hashsiz+10];

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=(s*ss)%p;
        ss=(ss*ss)%p,b>>=1;
    }
    return s;
}

ll hashinsert(ll x)
{
    ll s=x%hashsiz;
    while (hash[s]) s++;
    hash[s]=x;
    return s;
}

ll hashfind(ll x)
{
    ll s=x%hashsiz;
    while (hash[s]&&hash[s]!=x) s++;
    return s;
}

int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n)!=EOF)
    {
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        memset(hash,0,sizeof(hash));
        ll m=ceil(sqrt((double)p));
        ll x=1,B=power(b,p-2);
        for(ll i=0;i<m;i++)
        {
            ll pos=hashinsert((x*n)%p);
            mp[pos]=i+1;
            x=(x*B)%p;
        }

        x=1,B=power(b,m);
        bool flag=0;
        for(ll i=0;i<m;i++)
        {
            int pos=hashfind(x);
            if (mp[pos])
            {
                printf("%lld\n",i*m+mp[pos]-1);
                flag=1;
                break;
            }
            x=(x*B)%p;
        }
        if (!flag) printf("no solution\n");
    }

    return 0;
}