ML函数式程序设计 之 单体证明

/***********************问题一****************************/
问题 证明 returnM 10 :|-- (fn v => returnM (v+20))=returnM 30
解:前提
fun returnM v =fun s => (v,s)       条件<1>
fun m :|-- mf = fun s =>let
            val (v1,s1) = m s
            val m' = mf v1
            val (v2,s2) = m' s1
             in
            (v2,s2)
             end        条件<2>
returnM 10 :|-- (fn v => returnM (v+20))
=>使用条件<2>
=    fun s    =>    let
            val (v1,s1) = m s
            val m' = mf v1
            val (v2,s2) = m' s1
        in
            (v2,s2)
        end
其中m=returnM 10
       mf=fn v => returnM (v+20)
=>将m=returnM 10代入式中
=    fun s    =>    let
            val (v1,s1) = returnM 10 s
            val m' = mf v1
            val (v2,s2) = m' s1
        in
            (v2,s2)
        end
其中mf=fn v => returnM (v+20)
=>使用条件<1>
=    fun s    =>    let
            val (v1,s1) = (10,s)
            val m' = mf v1
            val (v2,s2) = m' s1
        in
            (v2,s2)
        end
其中mf=fn v => returnM (v+20)
=>所以  v1=10,s1=s 。 化简后
=    fun s    =>    let
            val m' = mf 10
            val (v2,s2) = m' s
        in
            (v2,s2)
        end
其中mf=fn v => returnM (v+20)
=>将mf=fn v => returnM (v+20)带入式中
=    fun s    =>    let
            val m' = （fn v => returnM (v+20)）10
            val (v2,s2) = m' s
        in
            (v2,s2)
        end
=>经化简
=    fun s    =>    let
            val m' =  returnM 30
            val (v2,s2) = m' s
        in
            (v2,s2)
        end
=>经化简
=    fun s    =>    let
            val (v2,s2) = returnM 30 s
        in
            (v2,s2)
        end
=>经化简
=    fun s    =>    let
            val (v2,s2) = returnM 30 s
        in
            (v2,s2)
        end
=>因为 (v2,s2) = returnM 30 s，将   returnM 30 s   把    (v2,s2)   替换
=    fun s    =>    let
            val (v2,s2) = returnM 30 s
        in
             returnM 30 s
        end
=>经化简
=    fun s    =>  returnM 30 s
=    returnM 30

/***********************问题二****************************/
问题 证明 m>>f 的通用实现与直接实现等价
解：前提
fun returnM v =fun s => (v,s)       条件<1>
fun m :|-- mf = fun s =>let
            val (v1,s1) = m s
            val m' = mf v1
            val (v2,s2) = m' s1
             in
            (v2,s2)
             end        条件<2>
已知
fun m>>f =fun s => let
            val (v1,s1) = m s         条件<3>
            val v2 = f v1               条件<4>
            val m' = returnM v2   条件<5>
            val (v3,s3) = m' s1       条件<6>
         in
            (v3,s3)
         end        条件<>    

证明
fun m>>f =  m :|-- (fun v => returnM f v) 
=>将条件<2>带入式中
=    fun s    =>    let
            val (v1',s1') = m s
            val m" = mf v1'
            val (v2',s2') = m" s1'
        in
            (v2',s2')
        end
其中 mf=(fun v => returnM f v) 
=>将条件<3>带入式中 (v1,s1) = m s=(v1',s1') 
=    fun s    =>    let
            val (v1,s1) = m s
            val m"= mf v1
            val (v2',s2') = m" s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>经化简，并将mf=(fun v => returnM f v) 带入式中
=    fun s    =>    let
            val m" = (fun v => returnM f v) v1
            val (v2',s2') = m" s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>经化简
=    fun s    =>    let
            val m" =  returnM f v1
            val (v2',s2') = m" s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>带入条件<4> v2 = f v1
=    fun s    =>    let
            val m" =  returnM v2
            val (v2',s2') = m" s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>带入条件<5>m' = returnM v2
=    fun s    =>    let
            val m" =  m'
            val (v2',s2') = m" s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>经化简
=    fun s    =>    let
            val (v2',s2') = m' s1
        in
            (v2',s2')
        end
=>带入条件<6>(v3,s3) = m' s1
=    fun s    =>    let
            val (v2',s2') = (v3,s3) 
        in
            (v2',s2')
        end
=>经化简
=    fun s    => (v3,s3) 
所以 m>>f 的通用实现与直接实现等价