[BZOJ]4443 [SCOI2015] 小凸玩矩阵 二分答案 + 二分图最大匹配

4443: [Scoi2015]小凸玩矩阵

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Description

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个N*M（N<=M)的矩阵A,要求小秃从其中选出N个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的N个数中第K大的数字的最小值是多少。

Input

第一行给出三个整数N,M,K

接下来N行，每行M个数字，用来描述这个矩阵

Output

如题 

Sample Input

3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3

Sample Output

3

HINT

1<=K<=N<=M<=250,1<=矩阵元素<=10^9

Source

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    要的是第k大...想当初mhy和idy002两学长都是被这个东西卡的很惨， 读题要仔细啊.

    在某种限制条件最小， 一般要想到二分答案. 首先如果小的取不到的话， 那么大的更取不到的， 所以具有二分性.

    那么二分权值之后， 将所有比这个权值小的都加入二分图. 二分图左边是行， 右边是列， 某一点的加入就是对应行和对应列建边. 这里跑出最大匹配的含义就是每一行每一列不重复的选出的最多多少个点. 如果取出来的点数大于n-k的话就说明有选出比n-k个还多的比当前二分值小的数的方案. 那么这个值还可以更小， 继续往下二分.

    注意有n-k个比二分值小， 就肯定能在这种方案中选出二分值(二分的权值当然要本来存在)和k-1比二分值大的点. 因为我二分的时候， 凡是与当前二分值同行同列的都不选. 所以当前二分值肯定能被选， 其他的剩余的k-1行每一列本来就可以选出一个数。 然而这些数肯定比当前二分值大. 如果比二分值小又满足要求的话肯定在最大匹配里， 与最大匹配矛盾. 所以有n-k个比当前小， 就一定能在这种方案剩余的行数里选出自己和k-1个比当前二分值大的数.

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define clear(a) memset(a, 0, sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn = 505;
bitset<maxn> vis;
int n, m, k, num, ans, tot, sum, lim, h[maxn], match[maxn];
struct point{int x, y, w;}a[100005];
struct edge{ int nxt, v;}e[100005];
inline bool cmp(point x, point y){ return x.w < y.w;}
inline void add(int u, int v){e[++num].v = v, e[num].nxt = h[u], h[u] = num;}
bool find(int u){
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].v;
		if(!vis[v]){
			vis[v] = 1;
			if(!match[v] || find(match[v]))
				return match[v] = u;
		}
	}
	return false;
}
inline bool check(int mid){
	sum = num = 0; clear(h), clear(match);
	for(int i = 1; i <= tot && a[i].w <=  a[mid].w; ++i)
		if(a[i].x != a[mid].x && a[i].y != a[mid].y) add(a[i].x, a[i].y + lim);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		vis = 0;
		if(find(i)) ++sum;
	}
	return sum >= n - k;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	lim = max(n, m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= m; ++j)
			a[++tot].x = i, a[tot].y = j, scanf("%d", &a[tot].w);
	sort(a + 1, a + tot + 1, cmp);
	int lf = 1, rg = tot;
	while(lf <= rg){
		int mid = (lf + rg) >> 1;
		if(check(mid)) ans = mid, rg = mid - 1;
		else lf = mid + 1;
	}
	printf("%d\n", a[ans].w);
}