bzoj3438 小M的作物 网络流

本文介绍了一种使用网络流算法解决包含组合加成条件的问题的方法。通过新建节点来处理多个点同时选取时的额外收益,实现了最大点权独立集的计算。

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这里写图片描述
题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3438
我们可以看到这道题与其他的网络流的题来讲,很不同的一个地方就是多了附属关系,我们平日的技巧比如说拆点啊在这里并不适用,因为这里是多个点同时被选的时候有新的加成.这个问题先搁一下,我们先来看看没有这个关系怎么建图,因为毕竟这个关系只是附带的.
注意,这下面部分讨论的是最小割,答案并不是最小割,我们可以把最小割看成最大答案的花费(因为原点到汇点不能联通,种子只能向一边种,我们求的是使不能联通的最小花费)
可以看到A,B两个田地,种子在不同的地方会对答案有不同的贡献,显然只能选择其中的一条边.题目中只有A,B两个田地,所以种子可以向A这个田地建边,建一条容量为a[i]的边,向B同理.这里把A田地和B做成原点和汇点S,T.我们要求的是最大点权独立集(使选出来的点的权值和最大,如果不明白的话可以搜一下最大点权独立集),所以我们只需要把总贡献减去这个图跑出的最大流(最大流==最小割)即可.
现在多了这个附加条件,怎么办呢?我们可以考虑对每种组合而言新开两个节点u,v,因为在原来的点上搞很明显无从下手.我们从S向u建c1[i]的边,v向建c2[i]的边,保证了收益上限.为了满足题目条件,只有组合里的种子全部选中才会打开这个combo连击加成,所以我们把u向所属组合里的每个点建inf的边,因为容量是inf,所以最小割里面绝对没有它.同理,组合里的种子向v建inf的边.证明一下正确性,比如说当S到u的边没有满流,说明了组合里的某元素到T和v到T已经满流(要不然S到u还可以加流量),满足题目条件.
代码如下:

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2000001;
const int inf=2100000000;
int h[maxn],a[maxn],b[maxn],dis[maxn],S,T,cur[maxn],n,num=1,m,top,flow,k,ans;
inline const int read(){ 
    register int f=1,x=0;
    register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct edge{
    int nxt,v,c;
}e[3*maxn];
void add(int u,int v,int w){
    e[++num].v=v;
    e[num].c=w;
    e[num].nxt=h[u];
    h[u]=num;
}
bool bfs(){
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    dis[S]=0;
    queue<int> q;
    q.push(S);
    while(!q.empty()){
       int u=q.front();
       q.pop();
       for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){
           int v=e[i].v;
           if(dis[v]==-1&&e[i].c){
              dis[v]=dis[u]+1;
              q.push(v);
           }
       }
    }
    return dis[T]!=-1;
}
int dfs(int u,int a){
    if(u==T) return a;
    int flow=0,f,x;
    for(int i=cur[u];i;cur[u]=i=e[i].nxt){
        int v=e[i].v;
        if(dis[v]==dis[u]+1&&e[i].c){
           x=min(e[i].c,a);
           f=dfs(v,x);
           e[i].c-=f;
           e[i^1].c+=f;
           a-=f;
           flow+=f;
           if(a<=0) return flow;
           if(e[i].c) cur[u]=i;
        }
    }
    if(!flow) dis[u]=-1;
    return flow;
}
int main(){
    int x,y,z;
    n=read();
    S=0,T=3*n+5;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),add(S,i,a[i]),add(i,S,0),ans+=a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),add(i,T,b[i]),add(T,i,0),ans+=b[i];
    m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        x=read(),y=read(),z=read();
        ans+=y+z;
        top++;
        add(S,n+top,y),add(n+top,S,0);
        top++;
        add(n+top,T,z),add(T,n+top,0);
        for(int j=1;j<=x;j++)  k=read(),add(n+top-1,k,inf),add(k,n+top-1,0),add(k,n+top,inf),add(n+top,k,0);
    }
    while(bfs()){for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=h[i];flow+=dfs(S,inf);}
    printf("%d\n",ans-flow);
} 
      ---She left before I have the chance to say.
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