第19 题： 题目：定义Fibonacci 数列如下： / 0 n=0 f(n)= 1 n=1 \ f(n-1)+f(n-2) n=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n 项。
分析：在很多C 语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci 作为例子。

因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，但....呵呵，你知道的。

思路：

    f(n) = 1*f(n-1) +1* f(n-2);

   f(n-1)=1*f(n-1)+ 0*f(n-2);

   f(n)        1   1        f(n-1)

   f(n-1)     1   0        f(n-2)    ，这里是使用的是矩阵，这样可以计算得出f(n),f(n-1)    与   f(1) , f(0) 的矩阵关系。

   在计算矩阵的幂的时候可以利用快速矩阵求法。求a的n次方的快速求法：

  while（a > 0）

           do  { 

if ( a%2 == 1){

                               result = a*result;

n = n -1;}

                 a=a*a;

  n = n/2;}

算法复杂度分析：算法的复杂度主要考虑的是矩阵的n次方幂，由于每次都是n = n/2 ，所以矩阵的快速幂复杂度O(lg n)。 

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
	int a[4] = {1,1,1,0};//前面讨论过
	int b[4] = {1,0,0,1};//单位阵
	int n,a1,a2,a3,a0;

	cin >> n;

	if (n == 0)
	{
		cout << "0";
		return 0;
	}
	if (n == 1)
	{
		cout << "1";
		return 1;
	}
	n = n-1;
	while ( n > 0 )
	{
		if ( n%2 == 1 )
		{
			n = n - 1;
			a0 = b[0]*a[0] + b[1]*a[2];
			a1 = b[0]*a[1] + b[1]*a[3];
			a2 = b[2]*a[0] + b[3]*a[2];//此处实际上不用更新b[2],b[3]
			a3 = b[2]*a[1] + b[3]*a[3];
			b[0] = a0;b[1] = a1;b[2] = a2;b[3] = a3;
		}
		n = n/2;
		a0 = a[0]*a[0] + a[1]*a[2];
		a1 = a[0]*a[1] + a[1]*a[3];
		a2 = a[2]*a[0] + a[3]*a[2];
		a3 = a[2]*a[1] + a[3]*a[3];
		a[0] = a0;a[1] = a1;a[2] = a2;a[3] = a3;
	}

	cout << b[0];
	return 0;
}