【Hammerstein模型的级联】快速估计构成一连串哈默斯坦模型的结构元素研究附Matlab代码-优快云博客

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🔥 内容介绍

摘要：本文深入探讨了由一连串Hammerstein模型构成的级联系统的结构元素快速估计问题。Hammerstein模型作为一种重要的非线性系统建模工具，其级联形式在复杂系统建模中具有广泛的应用。然而，传统的系统辨识方法在处理这种级联结构时面临计算复杂度高、辨识效率低等挑战。本文旨在研究和提出一种或多种能够快速有效地估计级联Hammerstein模型中各个非线性部分（非线性增益）和线性部分（线性动态）的结构元素的方法。文章首先回顾了Hammerstein模型及其级联结构的理论基础，分析了现有辨识方法的局限性。接着，本文将重点探讨基于输出误差法、预测误差法以及其他可能的快速估计策略，例如基于核方法、稀疏表示或迭代优化等技术在解决这一问题上的潜力。研究的重点在于如何在保证辨识精度的前提下，大幅降低计算复杂度，提高估计速度，为实时或近实时应用提供可能。最后，文章将对所提出的方法进行理论分析，并可能通过仿真实验验证其有效性。

关键词：Hammerstein模型；级联系统；系统辨识；结构元素估计；快速算法；非线性系统；线性系统；输出误差法；预测误差法

引言

在工程控制、生物医学、通信系统等诸多领域，系统常常呈现出非线性和动态特性。为了准确地理解、预测和控制这些复杂系统，建立有效的数学模型至关重要。Hammerstein模型作为一种典型的非线性系统模型，由一个无记忆非线性环节和一个线性动态环节串联而成，其简洁的结构和良好的辨识性能使其在许多应用中得到广泛采纳 [1]。然而，现实世界中的许多复杂系统往往无法简单地用一个Hammerstein模型来描述，它们可能由多个非线性环节和线性环节相互作用、级联或并联构成。本文关注的重点是Hammerstein模型的级联结构，即多个Hammerstein模型首尾相连构成的系统（如图1所示）。

图1. 级联Hammerstein模型示意图

描述性文本：图1展示了一个由两个Hammerstein模型级联而成的系统。第一个Hammerstein模型包括一个非线性环节 N1N1 和一个线性环节 L1L1。第二个Hammerstein模型包括一个非线性环节 N2N2 和一个线性环节 L2L2。输入信号 u(t)u(t) 首先通过 N1N1，然后通过 L1L1，其输出作为第二个Hammerstein模型的输入，即通过 N2N2 后再通过 L2L2，最终产生系统输出 y(t)y(t)。

级联Hammerstein模型能够描述更为复杂的非线性动态行为，例如一些多级非线性放大器、生物信号处理通路或者复杂化学反应过程等。对这类系统进行辨识，即从输入输出数据中估计出构成系统的各个结构元素（每个Hammerstein模型的非线性增益函数和线性传递函数），是实现系统分析、故障诊断、性能优化和控制系统设计的基础。

传统的系统辨识方法，如基于最小二乘原理的辨识算法 [2]，在处理线性系统或简单的非线性系统时表现良好。然而，对于级联Hammerstein模型而言，由于系统中存在多个非线性和线性环节相互耦合，辨识问题变得更加复杂。直接应用线性辨识方法会忽略非线性环节的影响，而将整个级联系统视为一个黑箱进行非线性辨识，则需要估计大量的参数，导致计算量巨大，收敛速度慢，甚至可能陷入局部最优解 [3]。此外，对于级联结构，我们不仅需要辨识整体系统的输入输出关系，更重要的是要辨识出构成系统的每个Hammerstein子模型的结构元素，这有助于我们理解系统中各个环节的功能和相互作用。

因此，研究如何快速有效地估计构成一连串Hammerstein模型的结构元素具有重要的理论意义和实际应用价值。本文旨在探索和提出一种或多种能够显著提高辨识效率的算法，特别是在数据量较大或者需要实时处理的场景下。

本文的后续章节安排如下：第二部分将回顾Hammerstein模型的理论基础和现有的辨识方法及其局限性；第三部分将深入探讨用于快速估计级联Hammerstein模型结构元素的方法，包括基于输出误差法、预测误差法以及其他可能的优化策略；第四部分将对所提出方法的理论性能进行分析；第五部分将对全文进行总结，并展望未来的研究方向。

1.现有辨识方法的局限性

目前针对Hammerstein模型及其级联结构的辨识方法主要可以分为以下几类：

a) 两步法：这类方法通常将非线性辨识和线性辨识分开进行。例如，先估计非线性函数，然后将非线性环节的输出（可能是未知的，需要估计）作为线性环节的输入进行线性辨识 [5]。对于级联Hammerstein模型，两步法会更加复杂，因为中间环节的输出是未知的，需要通过迭代或者其他方法进行估计，这增加了计算负担和误差传播的风险。

b) 基于滤波器的辨识方法：这类方法利用特殊的滤波器结构，将非线性系统的辨识转化为一个或多个线性系统的辨识问题 [6]。虽然在某些情况下有效，但对于复杂的非线性函数和级联结构，设计合适的滤波器可能非常困难，且对噪声比较敏感。

c) 迭代辨识方法：这类方法通常通过迭代优化算法来同时估计非线性和线性环节的参数 [7]。虽然能够获得较好的辨识精度，但迭代过程通常计算量大，收敛速度慢，且容易陷入局部最优。对于级联结构，参数空间的维度更高，迭代收敛问题更加突出。

d) 基于块结构辨识的方法：一些研究尝试利用Hammerstein模型的块结构特性，将辨识问题分解为若干个子问题 [8]。然而，如何有效地解耦这些子问题并保证整体辨识精度仍然是一个挑战，尤其是在存在噪声的情况下。

e) 子空间辨识方法：虽然子空间方法在线性系统辨识中取得了巨大成功，但将其直接应用于非线性系统，特别是级联Hammerstein模型，需要对非线性环节进行特殊的处理或线性化，这可能导致辨识精度下降或算法复杂性增加 [9]。

综上所述，现有的辨识方法在处理级联Hammerstein模型时，普遍存在计算复杂度高、辨识效率低、对初值敏感、容易陷入局部最优等问题。尤其是在需要快速获取结构元素的场景下，这些方法的局限性更加突出。因此，迫切需要研究和开发能够快速估计构成一连串Hammerstein模型的结构元素的新方法。

快速估计级联Hammerstein模型结构元素的方法研究

本节将探讨和提出几种可能用于快速估计级联Hammerstein模型结构元素的方法。核心思想是利用模型的结构特性，并结合有效的优化算法或信号处理技术，在保证一定辨识精度的前提下，显著降低计算量，提高辨识速度。

2.1. 基于输出误差法的快速估计

输出误差法（Output Error Method, OEM）是一种直接利用输入输出数据最小化预测误差平方和的辨识方法 [10]。对于级联Hammerstein模型，我们可以将整个系统视为一个非线性预测模型，然后利用优化算法来最小化输出误差。然而，直接对整个级联系统的参数进行优化是困难的。我们可以尝试通过一些技巧来加速基于输出误差法的辨识过程。

一种可能的策略是采用分步或迭代式的优化。例如，可以先固定其中一个或多个Hammerstein子模型的参数，然后优化剩余的参数。通过循环迭代，逐步 refine 所有子模型的参数。为了加速收敛，可以采用一些高效的优化算法，如Levenberg-Marquardt算法或拟牛顿法 [11]。此外，可以考虑利用模型的梯度信息，通过梯度下降或共轭梯度法等方法进行优化。然而，计算级联系统的梯度是复杂的，需要利用链式法则。

为了进一步提高速度，可以考虑在优化过程中引入正则化项，以约束参数空间，防止过拟合，并有助于提高收敛速度。例如，对于非线性函数，可以使用稀疏基函数展开，并加入L1或L2范数正则化；对于线性动态，可以约束模型阶次或系数范围。

另一种加速方法是利用并行计算。由于级联Hammerstein模型的结构具有一定的模块化特性，在某些优化步骤中，可以并行计算不同子模型的梯度或参数更新。

2.2. 基于预测误差法的快速估计

预测误差法（Prediction Error Method, PEM）是系统辨识中最常用的方法之一 [10]。它通过构建一个预测模型，并最小化实际输出与预测输出之间的误差平方和来估计模型参数。对于级联Hammerstein模型，构建一个准确的预测模型是关键。

一种可能的快速预测误差法是基于模型的分解和重构。我们可以尝试将级联系统的辨识问题分解为多个子问题，例如分别辨识每个Hammerstein子模型。然而，由于子模型之间的输入输出是耦合的，直接分解是困难的。一种可能的策略是利用迭代预测或近似预测。例如，在每次迭代中，先利用当前的参数估计值，预测第一个Hammerstein模型的输出，然后将预测的输出作为第二个Hammerstein模型的输入，以此类推，直到预测出最终的系统输出。然后利用预测误差来更新所有子模型的参数。

为了加速预测误差法的计算，可以考虑使用递推最小二乘算法 [12]。虽然递推最小二乘通常用于线性系统，但通过一些非线性变换或迭代线性化的方法，可以将其推广到非线性系统的辨识中。

此外，可以考虑利用核方法来表示非线性函数 [13]。核方法可以将非线性映射到高维特征空间，并在该空间中进行线性回归。对于级联Hammerstein模型，可以将每个非线性环节表示为核函数组合，然后利用核岭回归或核最小二乘等方法进行参数估计。核方法的计算复杂度与数据量相关，但可以通过选择合适的核函数和采用稀疏核方法来降低计算量。

2.3. 其他可能的快速估计策略

除了基于输出误差法和预测误差法，还有其他可能的策略可以用于快速估计级联Hammerstein模型的结构元素。

a) 基于稀疏表示的方法：如果非线性函数或线性动态可以用少量基函数的组合来表示，那么可以利用稀疏表示技术来加速辨识。例如，可以使用Lasso或稀疏回归等方法来选择重要的基函数并估计其系数 [14]。对于级联结构，可以尝试将所有非线性函数和线性动态的参数合并成一个大的参数向量，然后利用稀疏优化的方法进行估计。

b) 基于子空间分解的方法：尽管直接应用子空间方法有困难，但可以尝试结合子空间思想和非线性处理技术。例如，可以先对输入输出数据进行非线性变换，然后利用子空间方法辨识等价的线性系统 [15]。或者，可以尝试利用子空间投影来分离不同Hammerstein子模型的影响。

c) 基于神经网络的方法：近年来，深度学习在非线性系统建模中取得了巨大成功 [16]。可以构建一个包含多个非线性层和线性层的神经网络模型来表示级联Hammerstein模型，然后利用高效的神经网络训练算法进行参数估计。然而，神经网络模型通常参数量巨大，需要大量数据进行训练，且训练过程可能收敛缓慢。为了提高速度，可以考虑使用更轻量级的网络结构或采用迁移学习等技术。

d) 基于先验知识或模型结构的方法：如果对系统的结构或参数范围有一定的先验知识，可以将其融入到辨识过程中，例如通过贝叶斯方法 [17]。先验信息可以约束参数空间，减少搜索范围，从而加速辨识过程。此外，可以利用Hammerstein模型的特殊结构，设计专门的算法来提高辨识效率。

e) 基于信号处理技术的方法：可以利用一些信号处理技术，如相关分析、谱分析或小波分析，来提取系统中不同环节的特征信息，从而辅助辨识。例如，可以通过输入输出信号的相关性来初步估计线性环节的脉冲响应。

在实际应用中，通常需要结合多种技术来提高辨识速度。例如，可以先利用一种快速但可能精度较低的方法获得一个初步的参数估计，然后利用一种更精确但计算量较大的方法进行 refine。

理论分析

对所提出的快速估计方法进行理论分析是重要的，这有助于理解方法的性能、收敛性和鲁棒性。主要的理论分析内容包括：

a) 计算复杂度分析：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，与传统方法进行比较，以评估其快速性。对于迭代算法，需要分析每次迭代的计算量以及收敛所需的迭代次数。

b) 收敛性分析：对于迭代优化算法，需要分析算法的收敛条件和收敛速度。这可能需要利用Lyapunov稳定性理论或收缩映射原理等工具。

c) 辨识精度分析：分析在存在噪声的情况下，所提出的方法能否获得满意的辨识精度。这可能需要分析参数估计的方差或均方误差界。

d) 鲁棒性分析：分析算法对噪声、模型结构误差或数据缺失等因素的鲁棒性。

e) 参数可辨识性分析：分析在给定的输入激励条件下，级联Hammerstein模型的结构元素是否是可辨识的。对于级联结构，可辨识性问题比单个Hammerstein模型更加复杂 [18]。

理论分析通常需要假设一些条件，例如输入信号的性质（如白噪声或PRBS信号）、噪声的统计特性（如高斯白噪声）以及非线性函数的特性（如 Lipschitz 连续性）。

除了理论分析，通过大量的仿真实验来验证所提出方法的有效性和性能也是必不可少的。仿真实验可以模拟不同阶次的级联Hammerstein模型、不同形式的非线性函数、不同信噪比的数据以及不同输入信号等场景，以全面评估方法的性能。

总结与展望

本文深入探讨了构成一连串Hammerstein模型的结构元素的快速估计问题。级联Hammerstein模型作为描述复杂非线性动态系统的重要模型，其结构元素的准确和快速辨识是系统分析、控制和优化的基础。现有方法在处理这类结构时面临计算复杂度高、效率低等挑战。

本文回顾了Hammerstein模型及其级联结构的理论基础和现有辨识方法的局限性，并重点研究了基于输出误差法、预测误差法以及其他可能的快速估计策略。这些策略旨在利用模型结构特性，结合高效的优化算法、信号处理技术或机器学习方法，在保证辨识精度的前提下，大幅降低计算量，提高辨识速度。可能的方向包括分步迭代优化、利用核方法、稀疏表示、基于模型的分解和重构、递推算法、神经网络以及结合先验知识等。