【光学】光学测量数据分析中相位展开与功率谱密度PSD计算附matlab代码

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🔥 内容介绍

光学测量技术在现代科学研究和工程应用中扮演着至关重要的角色。许多光学测量，如干涉测量、散斑干涉测量和波前传感等，都涉及到对光学相位信息的提取和分析。然而，这些测量往往产生的是包裹的相位图，即相位值被限制在[-π, π]或[0, 2π]的范围内。因此，相位展开是获得真实、连续相位分布的关键步骤。此外，功率谱密度（PSD）作为一种频域分析工具，能够有效地揭示相位误差或表面形貌的统计特性。本文将深入探讨光学测量数据分析中的相位展开方法和PSD计算，包括相位展开的原理、算法及其优缺点，以及PSD计算的理论基础和应用。通过对这些方法进行阐述和比较，旨在为光学测量数据的有效处理和准确分析提供理论依据和实践指导。

1. 引言

光学测量技术以其高精度、非接触和快速性等特点，在各个领域得到广泛应用。从微观层面的细胞成像、纳米材料表征到宏观层面的大型结构变形监测、天文观测，光学测量都发挥着不可替代的作用。在这些测量中，相位信息往往携带了重要的物理信息，例如折射率变化、表面形貌、位移和应力等。然而，直接从干涉图或散斑图等测量结果中得到的相位信息通常是包裹的相位，即相位值被截断在一个固定的周期区间内。这种包裹的相位并不能直接反映真实的物理量。因此，为了获得准确的相位分布，需要进行相位展开。

相位展开是指从包裹的相位数据中恢复出真实、连续的相位分布的过程。这是一个非平凡的问题，因为相位包裹过程引入了2π的整数倍的不确定性，这种不确定性使得从包裹相位反推出真实相位变得复杂。此外，光学测量数据中不可避免地会存在噪声和误差，这些因素也会对相位展开的准确性造成影响。

为了进一步分析和理解相位信息的特性，我们还需要对展开后的相位数据进行频域分析。功率谱密度（PSD）是频域分析中最常用的工具之一，它可以描述相位误差或表面形貌在不同空间频率上的能量分布。通过对PSD的分析，我们可以了解测量系统或被测物体的误差特性，进而采取相应的措施来提高测量精度或改进制造工艺。

本文旨在详细介绍光学测量数据分析中相位展开和PSD计算的相关理论和方法。我们将首先讨论相位展开的基本原理和常用算法，然后介绍PSD的计算方法和应用，最后对这些方法的优缺点进行比较和总结。

2. 相位展开的原理与方法

2.1 相位包裹的本质

在光学干涉测量中，干涉强度可以表示为：

I(x, y) = I₀(x, y) {1 + V(x, y) cos[φ(x, y)]}

其中，I₀(x, y)是背景光强度，V(x, y)是干涉可见度，φ(x, y)是相位。从干涉强度中提取相位时，通常通过反正切函数进行：

φwrapped(x, y) = arctan[sin(φ(x, y)) / cos(φ(x, y))]

这个反正切函数返回的值域是[-π, π]或[0, 2π]，也就是说，它将真实的相位值限制在了这个区间内，产生了相位包裹现象。包裹的相位可以表示为：

φwrapped(x, y) = φ(x, y) mod 2π

其中，φ(x, y) 是真实的相位，mod 是模运算。

2.2 相位展开的基本原理

相位展开的目的是找到一个整数k(x, y)，使得：

φ(x, y) = φwrapped(x, y) + 2πk(x, y)

其中，k(x, y) 是一个整数，表示包裹的相位值所缺失的2π的倍数。相位展开的关键是如何确定这个整数k(x, y)。

理想情况下，相位是连续的，相邻像素之间的相位差应小于π。因此，如果已知一个像素的真实相位，可以通过累积其邻域像素之间的相位差来逐步恢复整个相位图。然而，在实际测量中，噪声、欠采样或不连续性都可能导致相邻像素之间的相位差大于π，从而造成相位展开错误。

2.3 常用相位展开算法

常见的相位展开算法主要分为两类：路径跟踪法和最小范数法。

2.3.1 路径跟踪法

路径跟踪法是一种局部相位展开算法，它通过选择合适的路径来积分相位差，从而逐步恢复整个相位图。

路径跟踪法的优点是计算速度快、实现简单，缺点是对噪声和不连续性敏感，容易产生误差累积。
- 梯度模法：梯度模越小，相位质量越高。
- 相位导数方差法：相位导数方差越小，相位质量越高。
- 干涉可见度法：干涉可见度越高，相位质量越高。
- 经典路径跟踪法：该算法从一个已知相位值开始，沿着相位差小于π的路径遍历整个相位图。如果遇到相位差大于π的情况，则引入一个2π的跳跃。
- 质量引导路径跟踪法：为了提高路径跟踪法的鲁棒性，人们引入了质量引导机制。该方法通过计算相位质量图，例如梯度模、相位导数方差或干涉可见度等，来引导路径的走向。路径优先选择质量较高的区域，从而减少相位展开错误的发生。常见的质量引导方法有：
- 最小不连续路径法：此方法旨在选择使相位跳跃总数最少的路径。它通过寻找具有最小累积梯度变化的路径来完成相位展开。
2.3.2 最小范数法

最小范数法是一种全局相位展开算法，它通过求解一个全局优化问题来恢复整个相位图。

其中，∇是梯度算符。可以通过求解一个泊松方程来获得解。

最小范数法的优点是鲁棒性好、全局最优解，缺点是计算量大、实现复杂。
- 加权最小二乘法：为了提高最小二乘法的鲁棒性，可以引入加权机制。该方法在优化过程中对相位质量较高的区域赋予更大的权重，从而减少噪声和误差的影响。
- 其他最小范数法：除了最小二乘法外，还有其他最小范数法，例如最小L1范数法等，它们在某些情况下可以获得更好的结果。
- 最小二乘法：最小二乘法是最常用的最小范数法。该方法通过最小化展开后的相位梯度与包裹相位梯度之间的差异来获得真实相位。其优化目标可以表示为：