【信号处理】基于扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器的窄带信号时变频率估计附Matlab代码

 ✅作者简介:热爱科研的Matlab仿真开发者,擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎个人主页:Matlab科研工作室

🍊个人信条:格物致知。

🔥 内容介绍

窄带信号广泛存在于各种工程应用中,例如通信、雷达、声呐等领域。准确估计窄带信号的时变频率对于信号解调、参数估计以及系统控制至关重要。由于现实环境中信号往往受到噪声的干扰,且信号频率可能随时间变化,因此,设计鲁棒且高效的时变频率估计方法具有重要的理论意义和实际应用价值。卡尔曼滤波器(Kalman Filter, KF)作为一种优化的递归数据处理算法,能够有效地从含有噪声的测量数据中估计系统的状态。然而,传统的卡尔曼滤波器仅适用于线性系统和高斯噪声环境。当系统模型或者测量模型呈现非线性时,传统卡尔曼滤波器的性能会显著下降。为了应对非线性问题,扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter, EKF)和无迹卡尔曼滤波器(Unscented Kalman Filter, UKF)应运而生,并在窄带信号时变频率估计中得到了广泛的应用。本文将深入探讨基于扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器的窄带信号时变频率估计方法,对比分析两者的优缺点,并讨论其在实际应用中的适用性。

一、窄带信号模型与状态空间描述

首先,我们对窄带信号进行建模。假设窄带信号可以表示为如下形式:

x(n) = A cos(θ(n)) + v(n)

其中,x(n) 是n时刻的观测信号,A 是信号幅度(假设已知或可预估),θ(n) 是瞬时相位,v(n) 是加性噪声,通常假设其服从高斯分布,即v(n) ~ N(0, R)R 为噪声方差。关键的目标是估计时变频率 f(n),其与瞬时相位变化率相关:

f(n) = (θ(n) - θ(n-1)) / (2πT)

其中,T 为采样间隔。为了利用卡尔曼滤波器进行估计,我们需要建立系统的状态空间模型。将瞬时相位 θ(n) 和频率 f(n) 作为状态变量,定义状态向量为 X(n) = [θ(n), f(n)]T。状态方程描述了状态变量随时间的变化规律,测量方程则描述了状态变量与观测信号之间的关系。

状态方程可以表示为:

θ(n) = θ(n-1) + 2πT f(n-1) + wθ(n-1)
f(n) = f(n-1) + wf(n-1)

写成矩阵形式:

X(n) = F X(n-1) + W(n-1)

其中, F = [[1, 2πT], [0, 1]] 为状态转移矩阵,W(n-1) = [wθ(n-1), wf(n-1)]T 为过程噪声,通常假设其服从高斯分布,即 W(n) ~ N(0, Q)Q 为过程噪声协方差矩阵。过程噪声反映了模型的不确定性和频率变化的随机性。

测量方程可以表示为:

x(n) = A cos(θ(n)) + v(n)

写成函数形式:

z(n) = h(X(n)) + v(n)

其中, z(n) = x(n) 为观测信号,h(X(n)) = A cos(θ(n)) 为非线性测量函数。

至此,我们建立了窄带信号时变频率估计的状态空间模型,该模型包含一个线性状态方程和一个非线性测量方程。接下来,我们将分别应用扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器来估计该模型中的状态变量,即时变频率。

二、扩展卡尔曼滤波器(EKF)

扩展卡尔曼滤波器通过对非线性测量方程进行一阶泰勒展开,将其线性化,然后应用标准卡尔曼滤波器的框架进行状态估计。

  1. 预测步骤 (Prediction Step)

    其中,X̂(n|n-1) 是n时刻的状态预测值,X̂(n-1|n-1) 是n-1时刻的状态估计值,P(n|n-1) 是n时刻的协方差预测值,P(n-1|n-1) 是n-1时刻的协方差估计值。

    • 状态预测:

      X̂(n|n-1) = F X̂(n-1|n-1)

    • 协方差预测:

      P(n|n-1) = F P(n-1|n-1) FT + Q

  2. 更新步骤 (Update Step)

    其中,K(n) 是卡尔曼增益,用于平衡预测值和测量值之间的权重,X̂(n|n) 是n时刻的状态估计值,P(n|n) 是n时刻的协方差估计值,I 是单位矩阵。

    • 计算雅可比矩阵:

      H(n) = ∂h(X(n))/∂X(n)|X(n)=X̂(n|n-1) = [-A sin(θ̂(n|n-1)), 0]

      其中,H(n) 是测量函数的雅可比矩阵,用于将测量残差映射到状态空间。

    • 计算卡尔曼增益:

      K(n) = P(n|n-1) HT(n) [H(n) P(n|n-1) HT(n) + R]-1

    • 状态更新:

      X̂(n|n) = X̂(n|n-1) + K(n) [z(n) - h(X̂(n|n-1))]

    • 协方差更新:

      P(n|n) = [I - K(n) H(n)] P(n|n-1)

EKF 的核心在于对非线性测量方程进行线性化,但这种线性化方法仅在一阶泰勒展开点附近有效。当非线性程度较高时,线性化误差会显著影响滤波器的性能,甚至导致滤波器发散。

三、无迹卡尔曼滤波器(UKF)

无迹卡尔曼滤波器采用了一种不同的策略来处理非线性问题。它不是直接对非线性函数进行线性化,而是通过一组称为 Sigma 点的样本点来近似状态的概率分布。这些 Sigma 点经过非线性函数变换后,其统计特性(均值和协方差)可以更准确地反映状态的真实分布。

  1. 生成 Sigma 点 (Sigma Point Generation)

    • 计算 Sigma 点:

      X(0)(n-1) = X̂(n-1|n-1)

      X(i)(n-1) = X̂(n-1|n-1) + (√( (L + λ) P(n-1|n-1) ))i i = 1, 2, ..., L

      X(i)(n-1) = X̂(n-1|n-1) - (√( (L + λ) P(n-1|n-1) ))i-L i = L+1, L+2, ..., 2L

      其中,L 是状态向量的维度,λ 是一个缩放参数,通常设置为 λ = α2(L + κ) - L,α 决定了 Sigma 点的分布范围,通常取值在 10-4 到 1 之间,κ 是一个辅助缩放参数,通常设置为 0。 (√( (L + λ) P(n-1|n-1) ))i 表示矩阵 (L + λ) P(n-1|n-1) 的平方根矩阵的第 i 列。

    • 计算权重:

      Wm(0) = λ / (L + λ)
      Wc(0) = λ / (L + λ) + (1 - α2 + β)
      Wm(i) = Wc(i) = 1 / (2(L + λ)) i = 1, 2, ..., 2L

      其中,Wm(i) 是均值权重,Wc(i) 是协方差权重,β 是用于结合状态先验分布信息的参数,对于高斯分布,通常设置为 β = 2。

  2. 预测步骤 (Prediction Step)

    • Sigma 点传播:

      X(i)(n|n-1) = F X(i)(n-1) i = 0, 1, ..., 2L

    • 状态预测:

      X̂(n|n-1) = Σ (Wm(i) X(i)(n|n-1)) i = 0 to 2L

    • 协方差预测:

      P(n|n-1) = Σ (Wc(i) [X(i)(n|n-1) - X̂(n|n-1)] [X(i)(n|n-1) - X̂(n|n-1)]T) + Q i = 0 to 2L

  3. 更新步骤 (Update Step)

    • 测量预测:

      Z(i)(n|n-1) = h(X(i)(n|n-1)) i = 0, 1, ..., 2L

    • 均值预测:

      Ẑ(n|n-1) = Σ (Wm(i) Z(i)(n|n-1)) i = 0 to 2L

    • 测量协方差:

      Pz(n|n-1) = Σ (Wc(i) [Z(i)(n|n-1) - Ẑ(n|n-1)] [Z(i)(n|n-1) - Ẑ(n|n-1)]T) + R i = 0 to 2L

    • 互协方差:

      Pxz(n|n-1) = Σ (Wc(i) [X(i)(n|n-1) - X̂(n|n-1)] [Z(i)(n|n-1) - Ẑ(n|n-1)]T) i = 0 to 2L

    • 卡尔曼增益:

      K(n) = Pxz(n|n-1) Pz(n|n-1)-1

    • 状态更新:

      X̂(n|n) = X̂(n|n-1) + K(n) [z(n) - Ẑ(n|n-1)]

    • 协方差更新:

      P(n|n) = P(n|n-1) - K(n) Pz(n|n-1) KT(n)

UKF 没有对非线性函数进行线性化,而是通过 Sigma 点的传播来近似状态的概率分布,因此可以更好地处理非线性问题。与 EKF 相比,UKF 通常具有更高的精度和更好的鲁棒性,尤其是在非线性程度较高的情况下。

四、性能比较与分析

EKF 和 UKF 都是用于处理非线性估计问题的常用方法,但它们在实现原理和性能表现上存在差异。

  • 线性化方法: EKF 通过一阶泰勒展开对非线性函数进行线性化,这种方法简单易行,但线性化误差会影响滤波器的性能。UKF 则不进行线性化,而是通过 Sigma 点的传播来近似状态的概率分布,可以更好地处理非线性问题。

  • 计算复杂度: EKF 的计算复杂度较低,只需要计算雅可比矩阵。UKF 的计算复杂度较高,需要生成和传播 2L+1 个 Sigma 点。

  • 精度和鲁棒性: 在非线性程度较低的情况下,EKF 和 UKF 的性能接近。但随着非线性程度的增加,UKF 的精度和鲁棒性通常优于 EKF。

  • 参数调节: EKF 不需要额外的参数调节。UKF 需要调节 Sigma 点的分布参数 (α, β, κ),这些参数的选择会影响滤波器的性能。

在窄带信号时变频率估计的应用中,信号的瞬时相位和频率之间的关系是非线性的。因此,UKF 通常比 EKF 具有更好的性能,尤其是在信号的频率变化较快或者噪声水平较高的情况下。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

🎈 部分理论引用网络文献,若有侵权联系博主删除

👇 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料

🌿 往期回顾可以关注主页,点击搜索

🏆团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真,助力科研梦:

🌈 各类智能优化算法改进及应用
生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划(2E-VRP)、充电车辆路径规划(EVRP)、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位
🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类
2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类
2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测
2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类
2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类
2.14 PNN脉冲神经网络分类
2.15 模糊小波神经网络预测和分类
2.16 时序、回归预测和分类
2.17 时序、回归预测预测和分类
2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类
2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类
方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断
🌈图像处理方面
图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知
🌈 路径规划方面
旅行商问题(TSP)、车辆路径问题(VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等)、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划(EVRP)、 双层车辆路径规划(2E-VRP)、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻
🌈 无人机应用方面
无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划
🌈 通信方面
传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配
🌈 信号处理方面
信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测
🌈电力系统方面
微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电
🌈 元胞自动机方面
交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀
🌈 雷达方面
卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别
🌈 车间调度
零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

👇

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值