【线性滤波逼近函数比较】结果显示每个滤波器的幅度、相位和群延迟、频率响应，并绘制了极点和零点图附Python代码

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🔥 内容介绍

在信号处理领域，线性滤波器扮演着至关重要的角色，其功能在于对输入信号进行频率选择、噪声抑制或信号增强。设计一个有效的滤波器，离不开对不同逼近函数的深入理解和比较。本文旨在探讨几种常见的线性滤波器逼近函数，包括巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型以及椭圆滤波器，并从幅度响应、相位响应、群延迟、频率响应以及极点零点分布等多个维度进行详细比较。

一、滤波器逼近函数概述

巴特沃斯滤波器：以其 maximally flat 的通带响应而闻名，即在通带内具有最平坦的频率响应，过渡带相对较宽。其特点是通带内无纹波，阻带衰减单调。

切比雪夫I型滤波器：在通带内具有等纹波特性，而阻带衰减是单调的。相比于相同阶数的巴特沃斯滤波器，切比雪夫I型在过渡带具有更快的衰减速度，但代价是通带内存在幅度波动。

切比雪夫II型滤波器：与切比雪夫I型相反，它在阻带内具有等纹波特性，而通带是单调的。这种滤波器在阻带衰减速度上同样优于巴特沃斯滤波器，适用于对阻带衰减要求较高的场景。

椭圆滤波器（考尔滤波器）：兼顾了通带和阻带的等纹波特性，从而在相同阶数下实现了最陡峭的过渡带。其优越的频率选择性使其在许多苛刻的应用中备受青睐，但其设计和实现相对复杂。

二、幅度响应与频率响应

幅度响应是衡量滤波器对不同频率分量增益（或衰减）能力的关键指标。在频率响应图中，通常将幅度响应表示为频率的函数。

• 巴特沃斯滤波器

  ：在通带内，幅度响应曲线平坦，接近0dB（或单位增益），没有纹波。随着频率远离通带，幅度响应单调下降，衰减速度相对较慢。

• 切比雪夫I型滤波器

  ：通带内存在等幅度纹波，纹波大小由设计参数决定。这些纹波意味着在通带内不同频率点的增益略有不同。阻带内幅度响应单调下降，衰减速度快于巴特沃斯滤波器。

• 切比雪夫II型滤波器

  ：通带内幅度响应平坦，无纹波。阻带内存在等幅度纹波，这些纹波表明在阻带内不同频率点的衰减程度存在波动。其阻带衰减速度同样快于巴特沃斯滤波器。

• 椭圆滤波器

  ：通带和阻带均存在等幅度纹波。这种设计使得它能在过渡带内实现最快的衰减速度，从而在给定阶数下提供最佳的频率选择性。

综合来看，如果追求通带的绝对平坦，巴特沃斯是首选；若对过渡带衰减速度有较高要求，且能接受通带纹波，切比雪夫I型是不错的选择；若要求阻带衰减速度快且接受阻带纹波，则切比雪夫II型更适用；而对频率选择性要求极高且能接受通带和阻带纹波时，椭圆滤波器是最佳选择。

三、相位响应与群延迟

相位响应描述了滤波器对不同频率分量引入的相移，而群延迟则表示信号包络通过滤波器所需的时间延迟。理想的滤波器应具有线性的相位响应，即恒定的群延迟，以避免信号失真。

• 巴特沃斯滤波器

  ：通常具有相对线性的相位响应和较为平坦的群延迟，尤其是在通带内。这意味着它引入的相位失真较小。

• 切比雪夫I型和II型滤波器

  ：由于其过渡带的快速衰减，往往会引入非线性的相位响应和波动较大的群延迟，尤其是在通带边缘。这可能导致信号的波形失真，特别是对于宽带信号。

• 椭圆滤波器

  ：由于其极高的频率选择性，其相位响应和群延迟的非线性程度通常是最高的。在对相位失真敏感的应用中，这可能是一个显著的缺点。

在许多通信系统中，群延迟的平坦性与信号的保真度密切相关。因此，在选择滤波器时，需要权衡频率选择性和相位失真之间的关系。对于对相位失真敏感的应用，如数字通信或数据传输，通常会优先考虑巴特沃斯滤波器或采用全通滤波器进行相位校正。

四、极点和零点图

极点和零点是滤波器系统函数在复平面上的根，它们决定了滤波器的频率响应特性。

• 极点：决定了滤波器在某些频率上的共振或放大特性。极点越靠近虚轴，滤波器在该频率附近的增益越高，响应越尖锐。稳定的滤波器，其极点必须位于复平面的左半平面。

• 零点：决定了滤波器在某些频率上的衰减特性。零点越靠近虚轴，滤波器在该频率附近的衰减越大。

• 巴特沃斯滤波器：其极点均匀分布在左半平面的一个圆上，没有零点（对于全极点滤波器）。这种分布确保了通带的平坦响应。

• 切比雪夫I型滤波器：极点位于椭圆上，并靠近虚轴，从而在通带内产生纹波。同样，没有有限零点。

• 切比雪夫II型滤波器：极点分布在左半平面的一个圆上，而零点位于虚轴上，且位于阻带区域。这些零点导致了阻带的等纹波特性。

• 椭圆滤波器：极点和零点都位于虚轴和实轴上，呈现交替分布。这种特殊的分布使得它能够在通带和阻带同时产生纹波，从而实现最陡峭的过渡带。

极点和零点图直观地展示了滤波器对不同频率分量的处理方式。通过分析极点和零点的位置，可以深入理解滤波器的频率响应、稳定性和瞬态特性。

五、结论

综上所述，巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型和椭圆滤波器各有其独特的优势和局限性。巴特沃斯滤波器以其平坦的通带和良好的相位特性适用于对保真度要求高的场合；切比雪夫滤波器以其快速的过渡带衰减适用于对频率选择性要求较高的场合，但可能引入相位失真；而椭圆滤波器则以其最佳的频率选择性适用于最苛刻的应用，但代价是复杂的特性和较差的相位线性度。

在实际应用中，工程师需要根据具体的系统需求、性能指标、复杂度和成本等因素，权衡不同滤波器的特性，选择最合适的逼近函数。通过对幅度、相位、群延迟、频率响应以及极点零点图的综合分析，可以更好地理解和设计出满足特定要求的线性滤波器，从而在信号处理领域发挥其应有的作用。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 王赟松.FIR数字滤波器设计[D].西安电子科技大学[2025-10-29].DOI:10.7666/d.y2067146.

[2] 黄翔东.全相位数字信号处理[D].天津大学[2025-10-29].DOI:10.7666/d.y1362261.

[3] 张亚妮.基于MATLAB的数字滤波器设计[J].辽宁工程技术大学学报(自然科学版), 2005.

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