电子科技大学《半导体光电子学》考点——光吸收、发射和折射过程

3.1 直接间隙光吸收跃迁率

单色场中的跃迁率参数

• 初始态i（假设被占领），能量为$E_i$
• 末态f（假设未被占领），能量为$E_f$
• 角频率摄动
  

光吸收跃迁率：

上式中的delta函数是对光子能量的修正。

单个电子的哈密顿量矩阵元：

对于电磁场中的电子而言：

$k_{op}$是材料内部光场的波矢量，光场与其电矢量呈线偏振
对于H′(r,t）有以下选择：

价带对导带的直接吸收态选择

• 初态和末态不是单电子态，因此多电子态对激子很重要。在“非激子”近似下，目前假定${\psi }_i(\vec{r})$和${\psi }_f(\vec{r})$是“单电子”。
  

归一化Bloch波函数定义

其中$B_i$和$B_f$是归一化常数。

价带对导带的直接吸收归一化

晶格单元内的归一化条件

代入Bloch波函数得：

晶体的Bloch波函数归一化系数结论：

价带对导带的直接吸收矩阵元

• 初态：价带
• 末态：导带

当光学极化矢量方向采取x方向上时，

缓变波包近似

缓变机制

• $k\ll \frac{\pi }{a}$
• 在布里渊区内，$|k_{op}|$可以几乎忽略不计
• 对于100nm的波长，|k| ~2 /100 nm-1
• 布里渊区的边缘为$\frac{\pi }{a}\sim \frac{\pi }{0.5}{\mathrm{nm}}^{-1}$
• 因此，整个因数在单位单元的长度a（晶格常数）$\exp \left[\left(i{\vec{k}}_v-{\vec{k}}_c+{\vec{k}}_{op}\right)\cdot \vec{r}\right]$上变化非常缓慢
  

将积分近似分离为积分和后的哈密顿量矩阵元

$⟨f\left|H^{\prime }(\bar{r})\right|i⟩=-\frac{e{A}_o}{2m_{o}N}⟨c\left|p_x\right|v⟩{\sum }_{m\text{ unit cell }}\exp \left[i\left({\vec{k}}_v-{\vec{k}}_v+{\vec{k}}_{op}\right)\cdot R_m\right]$
求和在所有n个单元上后：
$⟨c\left|p_x\right|v⟩\equiv {\int }_{\begin{array}{c}\text{ unit }\\ \text{ cell }\end{array}}{u}_c^{\ast }(\bar{r})p_x{u}_v(\vec{r})d^3\vec{r}\equiv p_{cv}$

动量守恒

求和量${\sum }_{m\text{ unit }}\exp \left[i\left({\vec{k}}_v-{\vec{k}}_v+{\vec{k}}_{op}\right)\cdot R_m\right]$当且仅当${\vec{k}}_v-{\vec{k}}_v+{\vec{k}}_{op}=0$时接近于0
其中$R_m$是晶体中第m个晶胞的位置

动量守恒式

${\sum }_{\begin{array}{c}m\text{ unit }\\ \text{ cells }\end{array}}\exp \left[i\left({\vec{k}}_v-{\vec{k}}_v+{\vec{k}}_{op}\right)\cdot R_m\right]={\sum }_m\exp (0)=N$

推论：

1. 矩阵元：$⟨f\left|H^{\prime }(\bar{r})\right|i⟩=-\frac{e{A}_o}{2m_o}{p}_{cv}$
2. 跃迁率：$W_{abs}=\frac{2\pi }{\hslash }\frac{e^2{A}_o^2}{4m_o^2}{\left|p_{cv}\right|}^2\delta \left(E_f-E_i-\hslash \omega \right)$
   

光吸收总跃迁率$W_{TOT}$

总跃迁率为跃迁率之和：
$W_{TOT}=\frac{2\pi }{\hslash }{\sum }_i{\sum }_f\delta \left(E_f-E_i-\hslash \omega \right)$
经垂直跃迁近似和${\left|p_{cv}\right|}^2$近似独立于k得：
$W_{TOT}=\frac{2\pi }{\hslash }\frac{e^2{A}_o^2}{4m_o^2}{\left|p_{c\nu }\right|}^2{\sum }_{\vec{k}}\delta \left(E_c(\vec{k})-E_v(\vec{k})-\hslash \omega \right)$

联合态密度

将和式改为积分表示，即${\sum }_k={\int }_{k}g(\bar{k})d^3\bar{k}$

将积分中的变量转换为能量，可定义为禁带宽度：

$E_J(\vec{k})=E_c(\vec{k})-E_v(\vec{k})=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2}\left(\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_h}\right)+E_g=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2{\mu }_{edf}}+E_g$
其中，电子等效质量满足：
$\frac{1}{{\mu }_{eff}}=\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_h}$（因为${\mu }_{\text{eff }}=\frac{m_{\mathrm{c}}{m}_h}{m_e+m_h}$）

因此，态密度$g_J\left(E_J\right)$满足：

$g_J\left(E_J\right)d{E}_J=g(\vec{k})d^3\vec{k}$
当$E_J\ge E_g$时，$g_J\left(E_J\right)=\frac{1}{2{\pi }^2}{\left(\frac{2{\mu }_{eff}}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{\left(E_J-E_g\right)}^{1/2}$

光吸收总跃迁率表达式及其条件

当$\hslash \omega \ge E_g$时，光吸收总跃迁率的表达式为：
$W_{TOT}(\hslash \omega )=\frac{2\pi }{\hslash }\frac{e^2{A}_o^2}{4m_o^2}{\left|p_{c\nu }\right|}^2\frac{1}{2{\pi }^2}{\left(\frac{2{\mu }_{eff}}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{\left(E_J-E_g\right)}^{1/2}$

吸收系数（核心考点）

吸收系数定义

吸收系数α是单位长度（在传播方向上）吸收一个光子的概率

单位面积每秒入射的光子数

$n_p=\frac{I}{\hslash \omega }$

※吸收系数公式※

$\alpha =\frac{W_{TOT}}{n_p}=\frac{\hslash \omega W_{TOT}}{I}$

光强公式

$I=\frac{n_{r}c{\epsilon }_o{\omega }^2{A}_o^2}{2}$

代入Kane模型后的吸收系数公式（只记结论）

$\begin{array}{rl}\alpha (\hslash \omega )=& \frac{\hslash e^2}{4\pi m_{o}c{\epsilon }_o}\frac{1}{n_r}\frac{E_p}{\hslash \omega }{\left(\frac{2{\mu }_{eff}}{{\hslash }^2}\right)}^{3/2}{\left(\hslash \omega -E_g\right)}^{1/2}\\ & =\frac{\pi \hslash e^2}{2\pi m_{o}c{\epsilon }_o}\frac{1}{n_r}\frac{E_p}{\hslash \omega }{g}_J\left(\hslash \omega -E_g\right)\end{array}$
其中，$E_p=\frac{2}{m_o}{\left|p_{cv}\right|}^2$
结论：$\alpha (\hslash \omega )\propto {\left(\hslash \omega -E_g\right)}^{1/2}$

吸收系数与能带结构图

光吸收长度

光强与吸收长度的关系式

$I(z)=I(0)e^{-\alpha z}$