CMU15-213 Bits, Bytes and Integer 1

Bits, Bytes and Integer 1

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从集合操作的角度来理解与、或、非、异或操作

我们已经很熟悉两个数的二进制表示按位进行与、或、非、异或操作如何产生新的数，课程中展现了一种新的方式来让我们理解这种位操作，考虑如下的两个数的二进制表示(考虑无符号数)：
$$(21{)}_{10}=(10101{)}_2(24{)}_{10}=(11000{)}_2$$
我们将其二进制表示写成一维数组的形式，并将为1的位的下标取出，构成一个集合，即：

1	0	1	0	1	集合
4	3	2	1	0	0,2,4

1	1	0	0	0	集合
4	3	2	1	0	3,4

一个显而易见的事实是，将两个数各自所对应的集合中的元素分别取出来，作为2的幂次，再进行求和就可以得到这两个数各自的值，即

$$21=2^0+2^2+2^{4}24=2^3+2^4$$

而更有趣的地方在于，如果我们将21与24作按位与操作，容易发现答案即为$(16{)}_{10}=(10000{)}_2$，而这个结果正好与我们先将集合 { 0 , 2 , 4 } \left\{ 0,2,4 \right\} {0,2,4}与集合 { 3 , 4 } \left\{ 3,4 \right\} {3,4}作交运算，再将得到的集合 { 4 } \left\{ 4 \right\} {4}中的元素分别作为2的幂次，再求和得到的结果相等，因此按位与操作其实在某种意义上与交运算是等价的。同理，读者可以自行尝试，在上面所讨论的意义下，按位或运算对应的是并运算，非操作对应的是取补集操作，异或对应的是取两个集合的对称差操作。

整数在计算机中的两种表示方式及转换

记号约定：$x$为某个整数的二进制表示，$x_i$为$x$的第$i$位，并且我们假设$x$的总位数为$w$。

我们人习惯操作的数是十进制的，而机器习惯操作的数是二进制的，当我们在讨论整数在计算机中的表示方法的时候，事实上我们是在问这样的一个问题：给定一个十进制的数，我们希望它在计算机中有唯一的二进制表示，并且能够找到一个对应法则(函数)，来帮助我们确定这个二进制数是多少。而由于我们要求的这样的一个函数实际上是一个双射，因此，这个问题的等价问法是：给定一个二进制表示，确定一个双射，使得能够将这个二进制表示映成一个十进制数。

为了讨论的简便，我们采取问题的后一种问法，以下介绍两种不同的整数在计算机中的表示方法：

无符号整数的表示方法

我们确定的双射是：

$$B2U(x)=\sum _{i=0}^{w-1}{x}_i\cdot 2^i$$

容易看到，对于给定的$w$，$B2U$的值域为 { 0 , 1 , 2 , . . . , 2 w − 1 } \left\{ 0,1,2,...,2^w-1 \right\} {0,1,2,...,2w−1}，这个函数是恒大于等于0的。

有符号整数的表示方法——2的补码表示

我们确定的双射是：
$$B2T(x)=-x_{w-1}\cdot 2^{w-1}+\sum _{i=0}^{w-2}{x}_i\cdot 2^i$$
如果把$B2T$看作是系数待定的2的多项式，并将2的次幂前的系数视为权重，那么我们会发现负权重只会出现在最高位上，因此$B2T$的值域为$\left\{-2^{w-1},-2^{w-1}+1,...,2^{w-1}-1\right\}$。

无符号整数表示法与有符号整数表示法的转换

我们已经知道了，这两种表示法的本质区别其实只是在于选取的映射不同，而由于两种表示方法与二进制表示之间都是双射，我们当然可以建立这两种表示方法之间的双射，这种映射的规则也很简单(为方便起见，我们只展示从有符号整数到无符号整数的转化)：
$$T2U(B2T(x))=\{\begin{array}{rlr}& B2T(x)& 0\le B2T(x)\le 2^{w-1}-1\\ & B2T(x)+2^{w-1}+1& -2^{w-1}\le B2T(x)\le -1\end{array}$$

当然上面的表述看起来比较抽象，实际上这件事情可以考虑下图：

也就是将2的补码表示的负数部分旋转180°后拼接到正数部分，例如$-1$就被映射到原来的$2^{w-1}-1$的上面一个，即为$2^{w-1}$。

接下来我们看一些例子：

例1:

运行如下代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
	int a = -1;
	unsigned int b = 0U;  //定义b为无符号类型的0
	if(a > b)
	{
		printf("a is bigger than b"\n);
	}
	else if (b > a)
	{
		printf("b is bigger than a"\n);
	}
	return 0;
}

你可能会感到惊奇的是，这个函数返回的结果居然是

a is bigger than b

事实上，计算机在对两个有符号数进行运算时，会直接运算，当如果两个数中出现了至少一个无符号数，那么计算机会将这两个数都转化成无符号数来进行运算，知道了这个，那么根据我们前面的理论进行分析，由于我们的机器是64位的：

查询可知int类型占4bytes，因此$-1$被转化为$2^{31}$，从而比0大。

例2:

观察如下写法：

#include <stdio.h>

void f(int i)
{
	...
}

int main()
{
	unsigned int i;
	int n = 10;
	for(i = n-1; i>=0; --i)
		f(i);
}

这个程序这样写是错误的，这是因为i>=0这个条件是恒成立的(为什么？)，因此循环永远不会停止。

例3:

观察如下写法：

#include <stdio.h>

void f(int i)
{
	...
}

int main()
{
	int i;
	int n = 10;
	for(i = n-1; i - sizeof(char)>=0; --i)
		f(i);
}

这种写法也是有问题的，这是因为sizeof返回的是一个无符号型的整数，与i进行运算后得到的结果是一个无符号类型的，最终循环也不会停止。

无符号整数与有符号整数位数的扩张

我们希望将一个整数从$k$位扩张成$k+p(p\ge 0)$位而不改变它的大小。

无符号整数

这只需要在原来的数前面填充0即可。

有符号整数

这需要在原来的数前面将扩张的位数全部填上与符号位相同的数，例如：

1011 -> 11111011
0101 -> 00000101

整数位数的缩减

一般而言，我们都采用直接扔掉最高位的情况，但此时自己要清楚可能出现的情况：

无符号整数

这只会有可能导致整数的缩小，但是并不会导致符号的改变。

有符号整数

1110101 -> 10101  //结果不变

这其实与我们有符号整数的扩张是一个逆过程，结果自然是不变的。

10110 -> 0110
0110 -> 110

从负数变成了正数，从正数变成负数都是有可能的。

以上即为本次博客的全部内容，写于2023/1/10，如果读者发现有什么问题或者有什么疑问，欢迎在评论区留言，博主看到会及时回复或作修改，非常感谢！