Codeforecs 550D Regular Bridge (神奇的构造题)

发觉自己水平越来越烂真是一件悲伤的事。。

要好好加油了

题意

         给定一个k（1<=k<=100），要求求出一张无向图，这张无向图的每个顶点度数都是k（有k条边和这个顶点相连），而且无向图至少要有一个桥（求出的无向图只能有一个连通块）。

         割顶/关节点：在连通图中，去掉一个顶点，能让这张图不再全连通（变成两个连通块）。

         桥：在连通图中，去掉一条边，能让这张图不再全连通（变成两个连通块）。

思路

下面我们来考虑图中只有一个桥的情况（好吧只需要考虑这个）。

我们可以想当然的认为构造出来的图是这样的：假设我们的图中一共有2n+4（为什么这样一会儿会解释）个顶点，则每边的顶点个数应该为n+2，同时每一侧有一个顶点和另外一侧相连（形成桥），因此构造的图可以是对称的，只要考虑一边就好了。

图的总度数为(2n+4)*k，总边数（也相当于一侧的度数）为(n+2)*k。

若不考虑中间相连的边，则左侧的度数为(n+2)*k-1。

1.当k为偶数时, (n+2)*k-1,一定是奇数，而一个连通图不可能度数为奇数，因此k为偶数时全部是NO。

2.下面考虑k为奇数的情况，由于每个顶点的度数要求为k，所以该顶点必须和k个顶点相连，考虑单独一侧，则该侧至少要k+1个顶点。但是如果一侧只有(k+1)个顶点，那么(k+1)*k-1依然是奇数，所以至少要有(k+2)个顶点（当然k+4也是可以的）。

 

确定了每边的顶点数后，下面我们来考虑如何构造。

意淫过程参考自：http://blog.youkuaiyun.com/codebattle/article/details/46383049

首先，1号顶点（桥的一侧）需要和k-1个顶点相连，此时这k-1个顶点每个还差k-1度，我们让他们互相连接，此时这k-1个顶点还差1度。

引入第k+1号顶点，让他去和这k-1个顶点相连，此时前k个顶点满足条件，第k+1号顶点还差1度，因此再引入第k+2号顶点，与第k+1号相连。

此时所有顶点中，只有第k+2号还差k-1度，我们可以想办法让2-k号各下降1度，然后让他们与第k+2号相连。

由于k是奇数，因此2-k共有偶数个顶点，这些顶点是互相连接的，具体的做法可以是，删除2-3,4-5,6-7…(k-1)-(k)之间的边，这样2-k号各下降1度。

说了这么多，其实编程实现并不复杂（可能我水平比较烂的关系），需要注意的是：推导的过程中我们每条边都考虑了两次，但是只需要输出一次。

 

假设顶点有n+2个

1号：与2-n相连

2-n号：若x为偶数，则x与 x+2到n+2所有顶点相连，若x为奇数，则x与 x+1到n+2所有顶点相连.

n+1号：与n+2连一条边.

这样一侧就构造完了，另外一侧完全相同（只要加上n+2的偏移量即可）。

最后不要忘了连上两侧的连线，而且对于1的情况要特判(表示当时完全没注意这点)

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

using namespace std;

const int maxn=1e5+50;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int k;
void print(int n,int base)
{
    for (int i=2;i<=n-2;i++){
        printf("%d %d\n",1+base,i+base);
    }
    for (int i=2;i<=n-2;i++){
        for (int j=i+1;j<=n;j++){
            if (j==i+1 && i%2==0) continue;
            printf("%d %d\n",i+base,j+base);
        }
    }
    printf("%d %d\n",n-1+base,n+base);
}
void solve(){
     if (k==1){
         printf("2 1\n1 2\n");
         return;
     }
    int n=(k+2)*2,m=(k+2)*k,base=k+2;
    printf("%d %d\n",n,m);
    print(k+2,0);
    print(k+2,base);
    printf("%d %d\n",1,k+3);
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
       // freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif

    while(scanf("%d",&k)!=EOF){
        if (k&1){
            puts("YES");
            solve();
        }else puts("NO");
    }


    return 0;
}