指数的增长和衰退问题

如果函数变化率与函数值成正比则该函数就是一个指数函数，其外在表现为指数形式的增长或衰退。举个例子，细菌数量越多其生长率就越高；相反，放射性物质的衰变率会随着其质量的减少而变缓。但，无论是增长还是衰退其都与函数值成正比。
假设函数N 代表任意时刻t 菌群或放射性物质的数量，由于该函数的变化率与函数值成正比，则用数学语言来表示就是：


其中k 即为变化率与函数值之间的比例值，可以理解为通常意义上的斜率，其应为常数，不同类型的问题，其值不同。对于指数增长问题，k 应为正直（因为对于时刻t，函数值递增）；衰退问题则应为负值（对于时刻t，函数值递减）。式（1）是一个典型的微分方程式，且其可推导出一般式：


经过上述推导，我们得到了指数问题的一般表达式，但要想用其解决实际问题还必须知道常数C 等于几。无论是菌群还是放射性物质，此类指数问题其在t=0 时刻时都会有一个初始函数值N(0)，因此：
 

这样，我们就可以根据k及初始时刻的N值计算任意时刻t 的函数值了。

首先看这样一个实际问题：
假设一个有100万数量的菌落，30天后其菌落数量达到750万，请问何时该菌落数量能到10亿？

从已知条件我们首先计算出k 值：


接下来就是计算何时到达10亿规模：


差不多102天就达到10亿规模 ，数量增长很客观啊。

再来看一个衰变问题：
假设某个城市受到了放射性物质钴的严重污染，经测量，当前强度为安全上限的100倍，已知钴的半衰期为5.37年，请问何时才能回到这个城市居住？
 
依然是根据已知条件计算k 值，半衰期为5.37年意味着要经过5.37年钴的含量才减少一半，因此：


要想能够回到城市居住，钴的含量应该减少到现在的百分之一，因此：


从安全角度考虑，我们最好等36年后再搬回去住。