【神经网络】【TensorFlow】求解耦合常微分方程组

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文章标签： tensorflow 神经网络深度学习

于 2021-10-04 21:54:35 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MarkovDPs/article/details/120604356

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这篇博客探讨了如何使用神经网络，特别是TensorFlow，来求解耦合常微分方程组。作者根据arxiv.org上的一篇论文，设计了一个包含10个神经元的单隐层网络，并通过逐步增加训练样本范围来解决数值不稳定性问题。在多次迭代训练后，神经网络的拟合结果逐渐接近解析解。文章还讨论了网络结构、损失函数设计以及可能的优化策略。

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刚开始学习神经网络，之前在帖子中学习了arxiv.org中一篇论文通过神经网络求解常微分方程的思路，原帖介绍了论文思路并给出了常微分方程求解举例，在这里我写一下自己的一些理解，并尝试复现原论文中的耦合常微分方程组求解、产生的问题以及解决方法。

原帖和原论文链接如下：

Tensorflow一个很简单的神经网络求解常微分及偏微分方程_Trytobenice的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/qq_39817721/article/details/88875099 NNforDEsPT (arxiv.org)https://arxiv.org/pdf/1902.05563.pdf首先，关于原论文中第3页的一阶常微分方程，原帖已经讲的很详细了，通过设计包含10个神经元的单隐层神经网络，将损失函数设定为常微分方程的平方，在 $x\in [0,3]$ 范围内，利用Adam优化器实现了拟合误差不超过0.01。此外，根据评论，有同学指出，如果将原帖代码中tf.zeros()全部换成tf.random_normal()，可以进一步提升loss下降速度和最终精度，并可以加入偏置项。整个神经网络的构成大概是下图所示：

基于以上思路，考虑下面的耦合常微分方程组：

$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d\phi_{1}} }{\mathrm{d} x}-\cos x-\phi_{1}^{2}-\phi_2+1+x^2+\sin^{2} x=0\\ &\frac{\mathrm{d\phi_{2}} }{\mathrm{d} x}-2x+(1+x^2)\sin x-\phi_1\phi_2=0\\ &\phi_1(0)=0,~\phi_2(0)=1 \end{aligned}$