欧拉线性筛法求素数 学习报告

筛素数的方法有很多，先说一下Eratosthenes筛法，这种筛法的思想不难理解，就是对不超过n的每个正整数$p$，依次删除$p,2*p,3*p……(k-1)*p,k*p(k*p<=n)$，最后没被筛除的就是素数了
代码也是很好写的，如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 100000
using namespace std;
int i,j;
bool pd[N];
int main()
{
    pd[1]=1;
    for(i=2;i<=N;i++)
      if(!pd[i])
        for(j=i*i;j<=N;j+=i)//此处写成i*i，一个小优化
          pd[j]=1;
    for(i=1;i<=N;i++)
      if(!pd[i]) 
        printf("%d ",i);
    return 0;
}

这个筛法效率还是很高的，内层的循环次数是$x=⌊\frac{n}{i}⌋-1<\frac{n}{i}$,这样,循环的总次数小于

$$\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+……+\frac{n}{n}=O(nlogn)$$

所以这个筛法已经足够应付大多数题了.
但是如果${n}$是${10^7}$呢，在Eratosthenes筛法里，我们一个合数标记过很多遍，导致了时间的浪费，所以便有了一种时间复杂度近似${O(n)}$的算法，就是欧拉线性筛法。这种筛法出去了很多冗余的标记和计算，先看下代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
# define N 10000000
using namespace std;
int num=0,i,j,prime[1000005];
bool pd[10000005];
int main()
{
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
      if(!pd[i])
        prime[++num]=i;//①如果是素数,选取加入prime[] 
      for(j=1;j<=num&&prime[j]*i<=N;j++)
      {
        pd[prime[j]*i]=1;
        if(!i%prime[j]) //②这是为了防止出现一个合数被判断两次的情况发生 
          break; 
      }
    }
    for(i=1;i<=num;i++)
      printf("%d ",prime[i]);
}

根据唯一分解定理，我们可以得知任意一个合数${N(N>2)}$，都可以唯一分解成${p_1*p_2*p_3*p_4*…*p_n}$, 其中$p_1≤p_2≤p_3≤p_4≤…≤p_n$ 且都是素数.
我们要确定的就是每个合数都要被筛除且只筛一遍
设合数$n=p_1*p_2*p_3*…*p_n(p_1≤p_2≤p_3≤…≤p_n)$
1.因为$i$是从1到$N$循环的,所以肯定先访问$n'=p_2*p_3*p_4*…*p_n$, 又因为$p_1≤p_2$，所以在访问$n'$的时候$p_1*n'$是一定执行的，由此我们可以得出所有的合数都会被标记过.
2.只要当前的$i\%\ prime[j]=0$ 就会退出循环，$prime[j]$ 也是从小到大循环的，所以合数$n$只会在$i=n'=p_2*p_3*p_4*…*p_n$ 的时候被筛掉,在$i>n'$ 时，有可能满足条件的$i'=\frac{p_1*p_2*…*p_n}{p_k}(2≤k≤n)$,此时$prime[k]*i'$ 可以把$n$筛除,而根据②,在$prime[1]$ 就break跳出循环了，故一个合数都会被筛除且只筛一遍.

总结：
还是要多做一些数论题,尤其这种基础算法一定要知道原理及证明,否则有变式的时候就不知所措了.