hdu 2255 KM 奔小康赚大钱

KM算法

基本原理

　　该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。　　KM算法的正确性基于以下定理：　　若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。　　首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是　　Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

改进

　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法， 时间复杂度为O(n^4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n^2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n^3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。　　Kuhn－Munkras算法流程：　　(1)初始化可行顶标的值；　　(2)用 匈牙利算法寻找完备匹配；　　(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值；　　(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止；

朴素版

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 305
#define MAX 900000000
int g[M][M];
int match[M];
int n,ans;
int lx[M],ly[M];
bool vx[M],vy[M];

void read()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			scanf("%d",&g[i][j]);
		}
	}
}

bool find(int x)
{
	vx[x]=true;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vy[i]&&lx[x]+ly[i]==g[x][i])
		{
			vy[i]=true;
			if(match[i]==0||find(match[i]))
			{
				match[i]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

void km()
{
	memset(match,0,sizeof(match));
	memset(lx,0,sizeof(lx));
	memset(ly,0,sizeof(ly));

	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			lx[i]=max(lx[i],g[i][j]);
		}
	}

	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		while(true)
		{
			memset(vx,0,sizeof(vx));
			memset(vy,0,sizeof(vy));

			if(find(i))
			{
				break;
			}
			else
			{
				int temp=MAX;
				for(j=1;j<=n;j++)
				{
					if(vx[j])
					{
						for(k=1;k<=n;k++)
						{
							if(!vy[k] && temp > lx[j]+ly[k]-g[j][k])
							{
								temp=lx[j]+ly[k]-g[j][k];
							}
						}
					}
				}
				
				for(j=1;j<=n;j++)
				{
					if(vx[j])
					{
						lx[j]-=temp;
					}
					if(vy[j])
					{
						ly[j]+=temp;
					}
				}
			}
		}
	}
}

void answer()
{
	ans=0;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ans+=g[match[i]][i];
	}
	printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		read();
		km();
		answer();
	}
	return 0;
}