递归--斐波那契/青蛙跳台阶/矩阵填充

斐波那契：

    递归实现：

long long  Fibonacci(unsigned int n)
{
	if (n <= 0)
		return 0;
	if (n == 1)
		return 1;
	return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

    循环实现：

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
	int result[2] = { 0.1 };
	if (n < 2)
		return result[n];

	long long FibN_one = 0;
	long long FibN_two = 1;
	long long Fib;
	for(unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		Fib = FibN_one + FibN_two;
		FibN_one = FibN_two;
		FibN_two = Fib;
	}
	return Fib;
}

 

递归实现的分析(分析下图得出如下结论)：

1. 递归的时间复杂度是以 n的指数方式增长的，即O(2^n)

2. 递归会使得重复的节点随着n的增大而急剧增加

3. 有的问题，可以使用递归的方法从上向下分析问题，而尽可能用循环的方式从下向上来实现代码

             

 

 

青蛙跳台阶：

        一只青蛙一次可以跳 1级台阶，也可以跳2 级台阶。求该青蛙跳上一个 n级的台阶总共有多少种跳法。

分析：

        跳到n级上可以由 n-1或者 n-2级跳上来，n-1,n-2级则以此类推； 而跳上1级的方式只有一种，跳上2级的方式有2种，所以有：  f(n) = f(n-1) + f(n-2)    且f(1) = 1  ， f(2) = 2;       有这几个条件就可以用递归的方式来分析问题了，它就类似于斐波那契数列，但是实现建议用循环来实现。

 

 

 

矩形填充：

        用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2*1的小巨矩形去覆盖一个2*8的矩形总共有多少种方法？

                     

分析：

       因为2*1*8 = 2*8，所以8个小矩形都会被用到，但是填充的方式不同而已。对于2*8的矩形，如果竖着填充一块，则剩余2*7个可以有各种填充方式； 对于2*8的矩形，如果横着填充一块，则必须横着再填充一块才能把下方填充，因此剩余2*6个可以有各种填充方式,。 假设2*8的填充方式为f(8)，则f(8) = f(7)+f(6),且f(1) = 1, f(2) = 2。  这又是一个递归的问题。