Atcoder Grand Contest 058 B - Adjacent Chmax 解题报告

MYiFR

已于 2023-07-06 16:57:10 修改

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分类专栏： DP 文章标签：动态规划

于 2023-07-06 16:52:12 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MYi_Qn/article/details/131579324

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题目大意

给定一个 $1$ 到 $N$ 的排列 $P$ ，每次可以选择相邻的两个数，将较小的数变成较大的数，求任意次操作后会有多少种不同的最终序列。

解题思路

不妨参考这篇博客的小技巧。

结果显然是有重复的可能的，那最终序列的性质可能有什么呢？

手搓几个数据出来玩一玩就可以发现，1.最终序列中那些相同的数一定只会出现在某一段区间内，不会分开，其次是 2.不同数字的相对位置不变。其实自己模拟一下过程就明白了，第一个性质是包含在第二个性质之内的。

更重要且基本的一点，3.所有最终序列中的数一定大于等于原序列中的数。这一点同时也包含第二条性质。所以总结一下，解题时要利用到这一条最根本的性质。

我们将 chmax 的过程视作扩张染色，那么原序列中的一个数一定只能向它左右两侧小于它的数扩张。显然，求出这个左右界并不难，我们设对于 $P_i$ 的左右界为 $L_i,R_i)$ 。

根据性质 3 可以推出 4.最终序列 $P^{'}$ 中的任意一段区间 $l_i,r_i]$ 使得 $P'_{l_{i}}=P'_{l_i+1}=\cdots=P'_{r_i}$ ，有 $[l_i,r_i]\subseteq(L_j,R_j)$ ，其中 $P'_{l_i}=P_j$ 。翻译成人话就是最终序列中的一段连续区间一定包含在这个数在原排列中的左右界内。

搓完数学来搓 dp。

设 $dp_{i,j}$ 表示原排列中前 $i$ 个数，填最终序列填到第 $j$ 为时的答案。

首先有 $dp_{i,j}\rightarrow dp_{i+1,j}$ ，接下来是喜闻乐见的枚举环节， $dp_{i,j}\rightarrow dp_{i+1,j+1}$ ， $dp_{i,j}\rightarrow dp_{i+1,j+2}\cdots dp_{i,j}\rightarrow dp_{i+1,R_{i+1}}$ 。正如性质 4 所述，第二个转移的前提是 $L_{i+1}\leq j$ 且 $j+1\leq R_{i+1}$ 。

但是在〇神给我带来的熏陶下，我们就像凹深渊时看到 6:59 一般意识到了事情的严重性。

没错，这样写你会喜提一个闪耀的 TLE。

不过问题不大是不是？区间修改，最后只求一个值，差分小天使为您服务。如果你为了一些神奇的理由选择写什么树状数组线段树之类的神奇的数据结构，随你便，反正我差分小天使码量少跑得快清纯无害，差分好闪，拜谢差分。

把发癫的部分去掉，上面那一段说的就是用差分优化枚举转移，将时间复杂度从 $O(N^3)$ 压成 $O(N^2)$ 的撅事好优化。

最后每次求完 $dp_i$ 记得把差分数组还原成原数组，答案就是 $dp_{N,N}$ 。

AC 代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<chrono>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define db double
#define ldb long db
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define pdd pair<db,db>
#define F first
#define S second
#define DEBUG
using namespace std;
const ll N=5e3+5,mod=998244353;
ll n,a[N],dp[N][N],L[N],R[N];
int main(){scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		L[i]=R[i]=i;
		while(L[i]>0 && a[i]>=a[L[i]]) --L[i];
		while(R[i]<=n && a[i]>=a[R[i]]) ++R[i];
	}
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;++i){
		for(int j=0;j<=n;++j){
			(dp[i+1][j]+=dp[i][j])%=mod;
			(dp[i+1][j+1]+=mod-dp[i][j])%=mod;
			if(L[i+1]<=j && j+1<R[i+1]){
				(dp[i+1][j+1]+=dp[i][j])%=mod;
				(dp[i+1][R[i+1]]+=mod-dp[i][j])%=mod;
			}
		}
		for(int j=0;j<n;++j) (dp[i+1][j+1]+=dp[i+1][j])%=mod;
	}
	printf("%lld",dp[n][n]);
	return 0;
}
//Ltwcfm.