Dixon‘s因子分解法——C语言实现

Dixon's 算法简介

Dixon's 算法是一种用于整数分解的经典算法，属于因数分解的随机平方方法。其核心思想是通过寻找模n（待分解的数）下的非平凡平方同余关系，利用这些关系构造出n的因数。该算法适用于分解大整数，尤其在光滑数（smooth numbers）的辅助下效率较高。

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算法核心原理

Dixon's 算法的关键在于以下步骤：

1. 选择因子基（Factor Base）
   选定一组小素数 ( B = {p_1, p_2, \ldots, p_k} ) 作为因子基。这些素数通常限制在某个阈值以下，确保后续生成的“光滑数”能完全分解为因子基中的素数。

2. 收集光滑数关系
   随机选择整数 ( x )，计算 ( Q(x) = x^2 \mod n )。若 ( Q(x) ) 能完全分解为因子基中的素数（即 ( Q(x) ) 是B-光滑的），则记录 ( x ) 和 ( Q(x) ) 的素数幂次向量。例如： [ Q(x) = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_k^{e_k} ] 对应的向量为 ( (e_1, e_2, \ldots, e_k) \mod 2 )。

3. 构造线性方程组
   收集足够多的光滑关系后，通过线性代数（如高斯消元法）找到一组线性相关的向量，使得这些向量之和模2为零。这对应一组 ( x_i ) 满足： [ \prod x_i^2 \equiv \prod Q(x_i) \mod n ] 且右边的 ( \prod Q(x_i) ) 是一个完全平方数。

4. 计算因子
   设 ( y = \sqrt{\prod Q(x_i)} )（整数平方根），( x = \prod x_i \mod n )。则有： [ x^2 \equiv y^2 \mod n ] 计算 ( \gcd(x - y, n) ) 或 ( \gcd(x + y, n) )，得到n的非平凡因子。

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关键优化与细节

• 光滑数判定：通过试除法或更高效的算法（如Pollard's Rho）判断 ( Q(x) ) 是否为B-光滑数。
• 因子基大小：因子基的规模影响算法的效率。较大的因子基需要更多光滑关系，但能提高找到解的几率。
• 随机性：算法依赖随机选择 ( x ) 来生成足够多的光滑关系，因此实际运行时间可能波动。
• 复杂度：算法的时间复杂度为 ( \exp\left(\sqrt{2 \log n \log \log n}\right) )，属于亚指数级。

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示例

假设要分解 ( n = 91 )，选择因子基 ( B = {2, 3, 5} )：

1. 随机选择 ( x = 10 )，计算 ( Q(10) = 10^2 \mod 91 = 9 = 3^2 )，记录向量 ( (0, 2, 0) )。
2. 选择 ( x = 12 )，( Q(1