轮式因子分解法——C语言实现

轮式因子分解法详解

核心目标：通过预处理加速试除法（Trial Division），跳过明显非因数的数字，减少测试次数。

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一、核心思想

当用试除法分解数 $N$ 时：

• 朴素方法需测试 $2,3,4,5,\dots$ 直到 $\sqrt{N}$
• 关键观察：
  • 除 $2$ 和 $3$ 外，所有质数均为 $6k \pm 1$ 形式（如 $5,7,11,13,\dots$)
  • 许多合数（如 $4,6,8,9,10,\dots$) 已被 $2$ 或 $3$ 覆盖
• 轮式思想：
  构建「轮子」跳过冗余合数，仅生成可能为质数的候选除数（如 $5,7,11,13,\dots$）

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二、算法原理

1. 选择轮子基础

• 常用基础：
  • 模 $6$ 轮（基于 $2,3$)
  • 模 $30$ 轮（基于 $2,3,5$)
  • 轮子越大，跳过越多，初始化越复杂

2. 构建模 $6$ 轮

• 轮周长：$2 \times 3 = 6$（模式每 $6$ 个数重复）
• 生成步长：
  列出与 $6$ 互质且 $<6$ 的数：$1,5$ → 步长序列 $[1,5]$

3. 算法步骤

1. 处理小质数：测试 $N$ 能否被 $2,3$ 整除
2. 初始化：
   • 起始候选数 $f = 5$
   • 实际步长 $[2,4]$（对应 $5→7→11$)
   • 索引 $i=0$
3. 轮询循环：

   while f² ≤ N:
      测试 N % f == 0?
      f = f + increments[i]
      i = (i+1) % len(increments)
   

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三、实例演示（$N=1541$）

1. 预处理：

   • $1541$ 不被 $2$ 整除（奇数）
   • $1+5+4+1=11$ 不被 $3$ 整除

2. 轮询过程（步长 $[2,4]$）：

   迭代	候选数 $f$	$1541 \mod f$