求N个数的最大公约数和最小公倍数

N个数的最大公约数和最小公倍数以及Hankson问题

N个数的最大公约数的计算方法：

求多个数最小公倍数可以转化为求多个数的最大公约数。求多个数的最大公约数(a1,a2,…,an)的传统方法是多次求两个数的最大公约数，即

（1） 用辗转相除法[2]计算a1和a2的最大公约数(a1,a2)

（2） 用辗转相除法计算(a1,a2)和a3的最大公约数，求得(a1,a2,a3)

（3） 用辗转相除法计算(a1,a2,a3)和a4的最大公约数，求得(a1,a2,a3,a4)

（4） 依此重复，直到求得(a1,a2,…,an)

定义数组a[ ]，使用for循环给数组赋值，先调用辗转相除gcd()，求出数组前两位的最大公约数t1，然后循环嵌套t1=gcd(a[i+1],t1)，最后得到的t1便是这几组数的最大公约数。

   N个数的最小公约数计算方法：

（1） 计算m=a1a2…*an

（2） 把a1,a2,…,an中的所有项ai用m/ai代换

（3） 找到a1,a2,…,an中的最小非零项aj，若有多个最小非零项则任取一个

（4） aj以外的所有其他非0项ak用ak
mod aj代替；若没有除aj以外的其他非0项，则转到（6）

（5） 转到（3）

（6） 最小公倍数为m/aj

      定义函数order()使用选择排序的方法，来实现步骤（3）最小项就为a[0]，定义函数exist0()来判断数组中有无0项。for循环实现第（2）步将数组中的每一项与m/a[i]替换。

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#include "stdio.h"
#include "math.h"
#include <stdlib.h>

int gcd(int m,int n)
{
	int i=0,temp,x;
	while(m%2==0 && n%2==0)  //判断m和n能被多少个2整除
	{
		m/=2;
		n/=2;
		i+=1;
	}
	if(m<n)     //m保存大的值
	{
		temp=m;
		m=n;
		n=temp;
	}
	while(x)
	{
		x=m-n;
		m=(n>x)?n:x;
		n=(n<x)?n:x;
		if(n==(m-n))
			break;
	}
	if(i==0)
		return n;
	else 
		return (int )pow(2,i)*n;
}

void order(int *array,int n)          //选择排序让最小的数排在最前面a[0]就为最小的数
{
	for (int i = 0; i < n; i++) 
		for (int j = i + 1; j < n; j++) 
		{
			if (array[i] > array[j]) 
			{
				int temp = array[i];
                array[i] = array[j];
                array[j] = temp;
            }
		}
} 

int exist0(int *array,int n)           //判断数组中是否有0的函数
{
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(array[i]==0)
			return 0;
	return 1;
}

void Hankson() 
{    

	int a0,a1,b0,b1;
	printf("输入这四个数据：");
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1); 
    int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;  
	for(int x=1;x*x<=b1;x++)	
	if(b1%x==0)
	{                               
		if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1)
			ans++;
	    int y=b1/x;      
        if(x==y)
			continue;
		if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1)
			ans++;
	}
	printf("这样的x有%d个\n",ans);
}



void zuida()
{
	int t1,n,a,b,c[10];
	printf("需要计算几个数的最大公约数：");
	scanf("%d",&n);
	printf("请依次输入数字:");
	scanf("%d%d",&a,&b);
	t1=gcd(a,b);                      //先求出前两数gcd()的最大公约数
	for(int i=0;i<n-2;i++)
	{
		scanf("%d",&c[i]);
	}
	for(int j=0;j<n-2;j++)           //循环嵌套
	{
		t1=gcd(c[j],t1);             //后面的数依次和前两个数的最大公约数求最大公约数
	}
	printf("这些数的最大公约数为：");
	printf("%d\n",t1);              //最后得到的数就是这些数的最大公约数

}

void zuixiao()
{
	int n;
	int m=1;
	int a[10];
	printf("需要计算机给数的最小公倍数：");
	scanf("%d",&n);
	printf("请依次输入数字:");
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int j=0;j<n;j++)
		m=m*a[j];          //计算m=a1*a2*..*an
	for(int k=0;k<n;k++)
		a[k]=m/a[k];         //把a1,a2,..,an中的所有项ai用m/ai代换
	order(a,n);         // 调用选择排序   找到a1,a2,..,an中的最小非零项aj，若有多个最小非零项则任取一个   
	while(1)
	{
		for(int h=1;h<n;h++)
		{
			a[h]=a[h]%a[0];
		}
		if(exist0(a,n)==0)
			break;
		order(a,n);          // a[0]外的所有其他非0项 a[k] 用ak%a[0]代替   直到出现0跳出循环
	}
	printf("这些数的最小公倍数为：");
	printf("%d\n",m/a[0]);
		
}

void main()
{
	zuida();
	printf("\n ===================================================================== \n\n");
	zuixiao();
	printf("\n ===================================================================== \n\n");
	printf("实现hankson问题：\n");
	Hankson();
}
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