HDU 1576-A/B（拓展欧几里得算法）

最新推荐文章于 2022-06-24 12:37:59 发布

kewlgrl

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分类专栏： HDU ACM_数论文章标签： C++ 拓展欧几里得算法 HDU 1576 ACM AB

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MIKASA3/article/details/44016725

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本文介绍了一道算法题目，通过使用拓展欧几里得算法求解(A/B)%9973的问题。给出了两段AC代码，并详细解释了算法背后的数学原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题及代码：

Problem E A/B-(A/B)%9973

Time Limit : 1000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 32768/32768K (Java/Other)

Total Submission(s) : 3 Accepted Submission(s) : 3

Font: Times New Roman | Verdana | Georgia

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Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

7922
6060

/*
*Copyright (c)2015,烟台大学计算机与控制工程学院
*All rights reserved.
*文件名称：HDU.cpp
*作    者：单昕昕
*完成日期：2015年3月2日
*版 本 号：v1.0
*/ 
//AC代码1
#include<iostream>
using namespace std;
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    int b,x,y,t,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>b;
        exGcd(b,9973,x,y);
        x=x*n;
        x=(x%9973+9973)%9973;
        cout<<x<<endl;
    }
}
//AC代码2
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    int b,x,y,t,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>b;
        exGcd(b,9973,x,y);
        x*=n;
        x%=9973;
        x+=9973;
        cout<<x<<endl;
    }
}

运行结果：

知识点总结：

拓展欧几里得算法。

乘法逆元。

学习心得：

研究了一个多小时才看懂拓展欧几里得算法怎么用。

n = A%9973, 设A / 9973 = y;

A / B = x 得 A = B * x;

有： B*x - 9973 * y = n;

由n=A%9973,得A=n+y*9973，即n=A-9973y；

又由扩展欧几里得公式得：ax+by=gcd(a,b)；

由A必能被B整除，即A%B==0,所以设A／B＝X，A＝B*X，得n=Bx-9973y。

引自yanghuaqings：
这道题应该用拓展欧几里德算法，总的思路是 (N = 9973)：(A/B)%N = ( (A%N) * (1/B)%N)%N
因为 gcd(B,N) = 1，所以原式= (n * (gcd(B,N)/B)%N)%N
又因为根据拓展欧几里德算法可以得到一组x,y,使得gcd(B,N) = B*x + N*y,代入上式就可以得到
(n * (x + N*y/B)%N)%N= ((n%N) * (x + N*y/B)%N)%N= (n*(x+N*y/B))%N
因为y < B,所以y/B = 0所以原式G= (n*x)%N
又因为x可能为负，所以只要G = (G%N+N)%N，就可以化成正的了。