过河

Description

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

Input

有多组测试数据，对于每组测试数据：
第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

Output

对于每组测试数据，仅输出一行，包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

Sample Input

10
2 3 5
2 3 5 6 7

Sample Output

2

根据其讲述，跳到第i个位置所踩的石头的最小数只与i-s~i-t这几个位置的数有关，所以可以联想到DP。 
但是发现L<=109

109,这个数据太大，直接dp会炸，所以想方法优化。当两个石头之间的距离大于t是中间一定会出现一部分没有踩到石子的空白地段，如果，因为s, t的范围比较小，而距离很长，石子也只有100个，所以两个石子之间的平均距离就很大，所以有一些石子之间的距离的空白地段可以去除，然后剩下的距离就很短，在10*101的范围了，因为理论上超过t就有可能有空白地段，所以最后剩下的距离是可以直接跑dp的。可是怎么确定缩短多少距离呢？我们每一个大于t的距离，假设距离为L,都可以由l+n*t得到，所以对于大于t的距离，我们可以进行取模，然后加上t，为什么要加上t，因为这样才能体现这段路径之前的状态，因为之前这段路是大于t的，我们只是通过去除空白快缩短距离，而不是改变它的状态，所以取模后加t是最小的未改变状态又缩短了距离的数值，缩短距离后，我们可以dp，状态转移方程为dp[i] = min(dp[i-j]+vis[i], dp[i]);因为过了河之后不是单纯一个点，而是一个范围，所以我们要一直更新到压缩之后的路径再加t,然后在那个范围内求最小。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 7;
const int M = 1e9 + 7;
int a[105], dp[maxn], vis[maxn];
int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        int s, t, m;
        cin >> s >> t >> m;
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
        {
            cin >> a[i];
        }
        a[++m] = n;
        a[0] = 0;
        sort(a+1, a+m+1);
        int cnt = 0;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
        {
            int temp = a[i]-a[i-1];
            if(temp >= t)
            {
                cnt += temp%t+t;
            }
            else
            {
                cnt += temp;
            }
            vis[cnt] = 1;
        }
        vis[cnt] = 0;
        memset(dp, M, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= cnt+t-1; i ++)
        {
            for(int j = s; j <= t; j ++)
            {
                if(i-j>=0)
                {
                    dp[i] = min(dp[i-j]+vis[i], dp[i]);
                }
            }
        }
        int ans = M;
        for(int i = cnt; i <= cnt+t-1; i ++)
        {
            //cout << dp[i] << " ";
            ans = min(ans, dp[i]);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

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