埃尔米特曲线 Hermite Curve

Introduction

给定曲线的两个端点的位置矢量 （ $P(0)$, $P(1)$ ）和切线矢量（ $P^{\prime }(0)$, $P^{\prime }(1)$ ）来描述曲线：

Proof

设方程为：
$$P(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d\text{\hspace{1em}(0)}$$
则：
$$P^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt+c\text{\hspace{1em}(1)}$$
则可得：
$$\{\begin{array}{ll}& P(0)=d\\ & P(1)=a+b+c+d\\ & P^{\prime }(0)=c\\ & P(1)=3a+2b+c\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
令：
$$\begin{gathered} h_0=P(0) \\ {h}_1=P(1) \\ {h}_2=P^{\prime }(0) \\ {h}_3=P^{\prime }(1)\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
则有：
$$\left[\begin{array}{c}{h}_0\\ h_1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_0\\ h_1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& -2& 1& 1\\ -3& 3& -2& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
又：
$$P(t)=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^3\\ t^2\\ t\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
则由 (4) (5) (6) 可得：
$$P(t)=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& -3& 0& 1\\ -2& 3& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^3\\ t^2\\ t\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，中间两个矩阵互为逆矩阵，乘积为单位矩阵。又由 (5) 可得：
$$P(t)=\left[\begin{array}{cccc}{h}_0& h_1& h_2& h_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& -3& 0& 1\\ -2& 3& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^3\\ t^2\\ t\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$
再令：
$$\left[\begin{array}{c}{H}_0(t)\\ H_1(t)\\ H_2(t)\\ H_3(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& -3& 0& 1\\ -2& 3& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^3\\ t^2\\ t\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
最终可得：
$$\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}^3\\ t^2\\ t\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{h}_0& h_1& h_2& h_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{H}_0(t)\\ H_1(t)\\ H_2(t)\\ H_3(t)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$
即：
$$P(t)=\sum _{i=0}^3{h}_i{H}_i(t)\text{\hspace{1em}(11)}$$
$H_i(t)$ 即为构成埃尔米特曲线的基本曲线方程。这四个基本曲线方程如下：

埃尔米特曲线：

其中箭头为切线方向