C++蓝桥杯 算法训练之结点选择

C++ 蓝桥杯题目讲解汇总(持续更新)

VIP试题 结点选择

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问题描述

有一棵 n 个节点的树，树上每个节点都有一个正整数权值。如果一个点被选择了，那么在树上和它相邻的点都不能被选择。求选出的点的权值和最大是多少？

输入格式

第一行包含一个整数 n 。

接下来的一行包含 n 个正整数，第 i 个正整数代表点 i 的权值。

接下来一共 n-1 行，每行描述树上的一条边。

输出格式

输出一个整数，代表选出的点的权值和的最大值。

样例输入

5
1 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5

样例输出

12

样例说明

选择3、4、5号点，权值和为 3+4+5 = 12 。

数据规模与约定

对于20%的数据， n <= 20。

对于50%的数据， n <= 1000。

对于100%的数据， n <= 100000。

权值均为不超过1000的正整数。

解题思路

首先得弄清楚题目的意思，我一开始没看懂，后来尝试着画出树，就明白了

这是一个树上求解最大独立集问题，问题的关键就是在于选择当前结点和不选择当前结点的状态转移方程，这里很关键，这里大家不懂的话可以看看刘汝佳老师的算法竞赛入门经典关于树形DP的求解 ($P_{280}-P_{283}$)，其次主要和本题最接近的例题是 9-13，如下：

难点：

• 树形结构的存储，这里我也是看书本上的使用vector<int>tree这种存储结构进行存储，但是感觉可能耗内存比较大，不过简单明了，vector类似于队列，python中的list结构

• 要注意这里的树不是那种常见的二叉树，结点和父节点都很明确那种，这里的树可以看成一个无向图

• 注意自顶而下的DFS分解过程，以及自底而上的回溯求解过程

• 注意转移方程，不选择当前结点的时候，不一定要选择其儿子结点，因为其儿子结点选不选择是由孙子结点的值决定的，但是不选择当前结点，一定不选择其儿子结点，下面是两种情况下的状态转移方程：

  ​ 设u为当前节点，i是它的子结点，d(u,1)代表选择u的值，d(u,0)代表不选择u的值

  • 如果选择当前节点的话，则一定不选择其子结点

    d ( u , 1 ) = ∑ i ∈ s o n d ( u , 0 ) (1) \displaystyle d(u,1)=\sum_{i\in{son}} d(u,0) \tag{1} d(u,1)=