RSA1 - BUUCTF

承诺Pro

已于 2025-04-07 18:24:31 修改

阅读量1.4k

点赞数 39

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：密码学

于 2025-03-18 20:04:28 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Luminith/article/details/146350069

p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852

求解前的准备（求m1,m2）

首先明确什么是dp，dq

dp是e关于p-1的逆元，即 $dp*e\equiv 1\ mod\ p-1$

因为 $d*e\equiv 1\ mod\ p-1$

所以有

$d\equiv dp\ mod\ p-1$ - ①

$d\equiv dq\ mod\ q-1$ - ②

我们知道

$m\equiv c^d\ mod\ n$ - ③

利用中国剩余定理可以将其分解为：

$m_1\equiv c^d\ mod\ p$ - ④

$m_2\equiv c^d\ mod\ q$ - ⑤

由①得 $d=k(p-1)+dp$ ，带入④得

$m_1\equiv c^{k(p-1)+dp}\ mod\ p$

$m_1\equiv c^{(p-1)k}c^{dp}\ mod\ p$

由费马小定理得 $c^{p-1}\equiv1\ mod\ p$ ，所以

$m_1\equiv c^{dp}\ mod\ p$

同理得 $m_2\equiv c^{dq}\ mod\ q$

这样我们就顺利得到了 $m_1,m_2$ ，他们对于求解 $m$ 有至关重要的作用

正式求解

由④容易得到 $c^d=kp+m1$ - ⑥

代到⑤式得 $m_2-m_1\equiv kp\ mod\ q$

因为p,q互素，所以存在逆元 $p^{-1}$ ，可以得到：

$(m_2-m_1)p^{-1}\equiv k\ mod\ q$

再将⑥式代进③，得

$m\equiv kp+m_1\ mod\ n$

$m\equiv [(m_2-m_1)p^{-1}\ mod\ q]p+m_1\ mod\ n$

这样就能得到m了

参考代码

p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229 
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469 
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929 
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041 
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852

import gmpy2 as gp
from Crypto.Util.number import *

n = p * q
m1 = gp.powmod(c, dp, p)
m2 = gp.powmod(c, dq, q)
p_1 = gp.invert(p, q)

m = (((m2 - m1) * p_1 % q) * p + m1) % n

print(long_to_bytes(m))

# b'noxCTF{W31c0m3_70_Ch1n470wn}'