p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852
求解前的准备(求m1,m2)
首先明确什么是dp,dq
dp是e关于p-1的逆元,即
因为
所以有
- ①
- ②
我们知道
- ③
利用中国剩余定理可以将其分解为:
- ④
- ⑤
由①得,带入④得
由费马小定理得,所以
同理得
这样我们就顺利得到了,他们对于求解
有至关重要的作用
正式求解
由④容易得到 - ⑥
代到⑤式得
因为p,q互素,所以存在逆元,可以得到:
再将⑥式代进③,得
这样就能得到m了
参考代码
p = 8637633767257008567099653486541091171320491509433615447539162437911244175885667806398411790524083553445158113502227745206205327690939504032994699902053229
q = 12640674973996472769176047937170883420927050821480010581593137135372473880595613737337630629752577346147039284030082593490776630572584959954205336880228469
dp = 6500795702216834621109042351193261530650043841056252930930949663358625016881832840728066026150264693076109354874099841380454881716097778307268116910582929
dq = 783472263673553449019532580386470672380574033551303889137911760438881683674556098098256795673512201963002175438762767516968043599582527539160811120550041
c = 24722305403887382073567316467649080662631552905960229399079107995602154418176056335800638887527614164073530437657085079676157350205351945222989351316076486573599576041978339872265925062764318536089007310270278526159678937431903862892400747915525118983959970607934142974736675784325993445942031372107342103852
import gmpy2 as gp
from Crypto.Util.number import *
n = p * q
m1 = gp.powmod(c, dp, p)
m2 = gp.powmod(c, dq, q)
p_1 = gp.invert(p, q)
m = (((m2 - m1) * p_1 % q) * p + m1) % n
print(long_to_bytes(m))
# b'noxCTF{W31c0m3_70_Ch1n470wn}'