1969. 数组元素的最小非零乘积-优快云博客

最小非零乘积：LeetCode 第 1969 题深度解析

📘 题目描述

给你一个正整数 p，你需要构建一个下标从 1 开始的数组 nums，其中包含范围 [1, 2^p - 1] 内的所有整数（包括两端），并将这些数字的二进制形式看作可以任意操作的“位块”。

你可以执行如下操作任意次：

从 nums 中选择两个元素 x 和 y；
选择它们中对应位置的某一位进行交换（即，如果 x 和 y 的二进制表示在第 i 位上分别是 a 和 b，你可以让它们互换这一位的值）。

你的任务是：在任意次此类操作后，使 nums 中所有元素的乘积为最小的非零值，并返回结果对 10^9 + 7 取余后的值。

🧠 解题分析

📌 操作的本质

看似复杂的交换操作，其实是对数组中所有数字的二进制位进行重新分配。你可以无限次交换任意两个数在某一位上的值——这意味着在每个“二进制位”的层面上，所有数位是全局共享的，你可以任意重新分布它们。

关键点是：

每一位上有多少个 1 和 0 是固定的；
但你可以把这些 1 和 0 分配给任意数字的任意位。

也就是说：在操作完成后，我们可以控制每个数的二进制位，使其构成你希望的任意模式（只要各位上 1 的个数总和不变）。

🎯 解题方法

我们想要使乘积最小化，且必须非零。既然可以控制二进制位的分布，我们要在合法的数字（范围是 [1, 2^p - 1]）中选择一种组合，使得乘积最小。

🎯 重要观察：

数组 nums 中包含的数字为：

[1,2,3,…,2p−1][1, 2, 3, …, 2^p - 1]

它有总共有 n = 2^p - 1 个元素。

我们做以下几个定义：

max_num = 2^p - 1 是 nums 中最大的数，也是所有位都是 1 的数字；
base = max_num - 1 = 2^p - 2 是第二大的数；
其余 n - 1 = base 个数可以进行配对。

关键策略：

保留一个 max_num 不变；
剩下的 base = 2^p - 2 个数可以构造成 base，并两两一组（因为总是偶数）；
每组的乘积为 (2^p - 2)^2，所以总的乘积是：

((2p−2)(2p−2)/2)×(2p−1)\left((2^p - 2)^{(2p - 2)/2}\right) \times (2^p - 1)

最后对 10^9 + 7 取模即可。

✅ Python 解法

class Solution:
    def minNonZeroProduct(self, p: int) -> int:
        MOD = 10**9 + 7
        max_num = (1 << p) - 1        # 2^p - 1
        base = max_num - 1            # 2^p - 2
        exp = base // 2               # (2^p - 2) // 2
        return (pow(base, exp, MOD) * max_num) % MOD

🧮 示例说明

示例 1：

输入：

p = 1

计算：

nums = [1]
乘积就是 1，自然最小。

输出：1

示例 2：

输入：

p = 2

nums = [1, 2, 3]，所有组合要么不能变更，要么保持原始乘积。

原始乘积：1 * 2 * 3 = 6

输出：6

示例 3：

输入：

p = 3

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
max_num = 7
base = 6，exp = 3

计算：

(6^3 * 7) % MOD = 216 * 7 = 1512

输出：1512

⏱️ 复杂度分析

项目	复杂度
时间复杂度	O(log p)
空间复杂度	O(1)

快速幂运算复杂度是 O(log e)，即指数的位数。

🔍 比较与分析

方法	描述	复杂度	是否满足题意
枚举法	遍历所有排列，计算乘积	指数级	❌ 时间超限
贪心构造	只保留一个最大值，其余统一为次大值	O(log p)	✅ 最优解
暴力模拟交换位	太多无用操作	不可行	❌ 超时