1911. 最大交替子序列和-优快云博客

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子序列的最大交替和 — 动态规划详解

题目描述

给定一个数组 nums，定义其交替和为：数组中偶数下标元素之和减去奇数下标元素之和（下标从 0 开始）。

例如，数组 [4, 2, 5, 3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4。

现在，给定数组 nums，请你找到它的任意子序列，使得该子序列（重新编号，下标从 0 开始）的交替和最大，返回这个最大交替和。

子序列定义：从原数组中删除一些元素后，剩下元素顺序不变组成的数组。
你可以选择不删除任何元素，也可以删除任意多个元素。
子序列的下标重新从 0 开始编号，交替和计算基于子序列的重新编号。

示例

示例 1：
输入：nums = [4,2,5,3]
输出：7
解释：最优子序列为 [4,2,5]，交替和 = (4 + 5) - 2 = 7。

示例 2：
输入：nums = [5,6,7,8]
输出：8
解释：最优子序列为 [8]，交替和 = 8。

示例 3：
输入：nums = [6,2,1,2,4,5]
输出：10
解释：最优子序列为 [6,1,5]，交替和 = (6 + 5) - 1 = 10。

题目分析

我们关注的是子序列的交替和最大值。
交替和的定义很明确：偶数下标项相加，奇数下标项相减。
由于是子序列，可以任意跳过元素，保留部分元素。
目标是求所有可能子序列中的最大交替和。

关键点

子序列下标是重新编号的，意味着我们自己决定哪些元素是偶数位，哪些是奇数位。
需要在遍历时动态维护“以当前元素为偶数位的最大交替和”和“以当前元素为奇数位的最大交替和”。

解题方法

动态规划思路

设两个变量：

even：当前以偶数下标结尾的最大交替和。
odd：当前以奇数下标结尾的最大交替和。

初始时：

even = 0
odd = 0

遍历数组每个元素 num：

当前元素可以作为偶数下标项，此时的最大交替和可以是：
- 保持之前的 even 不变（不选当前元素），或者
- 在之前的以奇数下标结尾的序列后接上当前元素：odd + num

因此：

new_even = max(even, odd + num)

当前元素可以作为奇数下标项，此时的最大交替和可以是：
- 保持之前的 odd 不变（不选当前元素），或者
- 在之前的以偶数下标结尾的序列后接上当前元素，此时交替和要减去这个元素：

new_odd = max(odd, even - num)

最后更新：

even, odd = new_even, new_odd

遍历结束后，even 即为最大交替和。

代码实现

class Solution:
    def maxAlternatingSum(self, nums: List[int]) -> int:
        even = 0
        odd = 0
        for num in nums:
            new_even = max(even, odd + num)
            new_odd = max(odd, even - num)
            even, odd = new_even, new_odd
        return even

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，遍历一次数组。
空间复杂度：O(1)，只用两个变量存储状态。

示例说明

以示例 [4,2,5,3] 为例：

初始：even = 0, odd = 0

num=4:
- new_even = max(0, 0+4) = 4
- new_odd = max(0, 0-4) = 0
- 更新：even=4, odd=0
num=2:
- new_even = max(4, 0+2) = 4
- new_odd = max(0, 4-2) = 2
- 更新：even=4, odd=2
num=5:
- new_even = max(4, 2+5) = 7
- new_odd = max(2, 4-5) = 2
- 更新：even=7, odd=2
num=3:
- new_even = max(7, 2+3) = 7
- new_odd = max(2, 7-3) = 4
- 更新：even=7, odd=4