1806. 还原排列的最少操作步数

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LeetCode 1806 | 最小操作步数让排列回到初始状态 — 数学与置换周期的巧妙应用

题目描述

给定一个偶数 n，存在一个长度为 n 的排列 perm，其中 perm[i] == i（下标从0开始）。

定义一个操作步骤：

新建数组 arr，对每个索引 i：
- 若 i 是偶数，则 arr[i] = perm[i / 2]
- 若 i 是奇数，则 arr[i] = perm[n / 2 + (i - 1) / 2]

将 arr 赋值给 perm。

问题： 经过多少次该操作后，perm 才会回到初始状态？返回最小的非零操作步数。

解题分析

这个问题的关键在于理解操作过程实际上是对数组下标的一种置换（Permutation），即每次操作相当于对元素的索引位置进行重排。题目问的是，这个置换重复多少次后，整个数组才回到原始排列。

本质问题转化： 找到这个置换的周期（cycle length），即最小的 k 使得对所有 i，经过 k 次变换，i 回到原点。

置换函数定义

定义一个函数 f(i) 表示一次操作后，索引 i 变换后的位置：

def f(i):
    if i % 2 == 0:
        return i // 2
    else:
        return n // 2 + (i - 1) // 2

例如：

对偶数索引 i，新位置是 i/2
对奇数索引 i，新位置是 n/2 + (i - 1)/2

求置换周期的思路

排列经过操作后，每个元素的索引都发生了置换。一个排列可以拆解为若干个互不交叉的置换环（cycles）。最终排列恢复初始状态的条件是每个环上的元素都回到原位置。

因此问题转化为：

找出所有环的长度（循环节）
计算这些环长度的 最小公倍数（LCM）

这个最小公倍数即为让整体排列回到原状所需的最少操作次数。

详细算法步骤

初始化一个布尔数组 visited，标记索引是否已被访问。
遍历数组索引 i：
- 如果未访问，开始从 i 出发，沿着置换函数 f 走，直到回到 i，计算环长度 count。
将所有环的长度 count 求最小公倍数，得到最终答案。

代码实现（Python）

import math

class Solution:
    def reinitializePermutation(self, n: int) -> int:
        def f(i):
            if i % 2 == 0:
                return i // 2
            else:
                return n // 2 + (i - 1) // 2

        visited = [False] * n
        lcm = 1

        for i in range(n):
            if not visited[i]:
                count = 0
                j = i
                while not visited[j]:
                    visited[j] = True
                    j = f(j)
                    count += 1
                if count > 0:
                    lcm = math.lcm(lcm, count)

        return lcm