1792. 最大平均通过率-优快云博客

最大化班级平均通过率 —— 贪心 + 堆优化方案详解

最大化班级平均通过率 —— 贪心 + 堆优化方案详解

题目描述

学校有若干班级，每个班级有若干学生，并且每个班级已有一定数量的学生通过期末考试。现在给你一个二维数组 classes，其中 $classes[i] = [pass_i, total_i]$ 表示第 i 个班级中共有 $total_i$ 个学生，其中只有 $pass_i$ 个学生能通过考试。

此外，你还有 extraStudents 个聪明学生，这些学生 一定能通过任何班级的考试。你的任务是把这 extraStudents 个学生分配到各个班级中，使得所有班级的平均通过率最大。

通过率：班级中通过考试学生数除以该班级总人数
平均通过率：所有班级的通过率之和除以班级数目

目标： 返回分配完所有额外学生后的最大平均通过率。结果允许与标准答案误差在 10^-5 以内。

输入输出示例

示例 1：

输入：
classes = [[1,2],[3,5],[2,2]]
extraStudents = 2

输出：
0.78333

解释：
将两个额外的学生都分配到第一个班级，班级状态变为：
第一个班级：pass=3, total=4， 通过率=3/4=0.75
第二个班级：通过率=3/5=0.6
第三个班级：通过率=2/2=1.0

平均通过率 = (0.75 + 0.6 + 1.0) / 3 = 0.78333

示例 2：

输入：
classes = [[2,4],[3,9],[4,5],[2,10]]
extraStudents = 4

输出：
0.53485

解题分析

核心难点

额外学生可以自由分配，但要让平均通过率最大化。
如何判断“给哪个班级分配额外学生，能带来最大增益”？

通过率增益计算

一个班级的当前通过率是：

$r = \frac{pass}{total}$

给班级分配一个额外的聪明学生后，通过率变为：

$r' = \frac{pass + 1}{total + 1}$

增益（gain）是：

$gain = r' - r = \frac{pass + 1}{total + 1} - \frac{pass}{total}$

显然，我们每次都应该选择增益最大的班级，优先把额外学生分配给它。

贪心策略

计算每个班级增加一个学生的增益。
选择增益最大的班级分配一个额外学生。
更新该班级的 pass 和 total。
重新计算该班级的新增益。
重复上述过程，直到分配完所有额外学生。

数据结构选择

使用最大堆（优先队列）存储班级的增益和当前状态。
Python 自带的 heapq 是最小堆，因此存储负的增益值来模拟最大堆。

解题代码

import heapq
from typing import List

class Solution:
    def maxAverageRatio(self, classes: List[List[int]], extraStudents: int) -> float:
        def gain(pass_, total):
            # 计算分配一个额外学生后带来的增益
            return (pass_ + 1) / (total + 1) - pass_ / total
        
        # 建立最大堆，存储(-增益, pass, total)
        heap = []
        for pass_, total in classes:
            g = gain(pass_, total)
            heapq.heappush(heap, (-g, pass_, total))
        
        # 分配额外学生
        for _ in range(extraStudents):
            g, pass_, total = heapq.heappop(heap)
            pass_ += 1
            total += 1
            new_g = gain(pass_, total)
            heapq.heappush(heap, (-new_g, pass_, total))
        
        # 计算最终平均通过率
        total_classes = len(classes)
        result = 0
        while heap:
            _, pass_, total = heapq.heappop(heap)
            result += pass_ / total
        
        return result / total_classes