1780. 判断一个数字是否可以表示成三的幂的和

目录

判断一个数能否表示成不同的三的幂之和 — 解题思路与代码实现

题目描述

示例

解题分析

代码实现

方法分析与比较

示例说明

总结

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判断一个数能否表示成不同的三的幂之和 — 解题思路与代码实现

题目描述

给定一个整数 n，判断是否存在若干个 不同的三的幂 （即  ）的和，使得这些三的幂相加等于 n。

具体来说，题目要求：

如果存在一组不同的整数  ，使得 

返回 true；否则返回 false。

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示例

输入	输出	解释
12	true	12 =
91	true	91 =
21	false	无法用不同的三的幂表示21

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解题分析

这题的关键点是理解 三的幂的和 与 三进制表示法 之间的关系。

• 三的幂有且只有 1 个对应三进制的位： 对应三进制的个位， 对应三进制的十位，依次类推。
• 若某个数 n 可以表示成不同的三的幂之和，那么它的三进制表示中，每一位数字只能是0或1。
• 如果三进制表示中某一位出现数字 2，就表示需要用两个相同的三的幂相加（例如 ），这不符合“不同三的幂”的要求。

因此，我们可以用简单的三进制检测法来解决问题：

1. 将数字 n 按三进制拆解，一次取余 n % 3。
2. 如果某一位余数为 2，则返回 false。
3. 如果全部位余数都为 0 或 1，且最终 n 除完变为0，则返回 true。

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代码实现

class Solution:
    def checkPowersOfThree(self, n: int) -> bool:
        while n > 0:
            if n % 3 == 2:
                return False
            n //= 3
        return True

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方法分析与比较

方法	复杂度分析	优缺点
三进制检测法（取余法）	时间复杂度	简单易实现，无需预先计算三的幂；代码简洁；高效
预生成三的幂数组，回溯法	时间复杂度较高	代码复杂；对于较大 n 不够高效；适合做穷举解题思路演示

这里的取余法明显更简洁且性能更好，因为它只需不断除以3并检测余数，不用存储或枚举所有三的幂。

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示例说明

• 输入：n = 12 
  • （三进制）
  • 三进制位为 0 和 1，没有 2，符合条件，返回 true。
  • 对应三的幂：
• 输入：n = 91 
  • ​​​​​​​​​​​​​​
  • 三进制各位均为0或1，返回 true。
  • 对应三的幂：
• 输入：n = 21
  • ​​​​​​​
  • 三进制中包含 2，说明需要重复使用某个三的幂，返回 false。

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总结

这道题利用了三进制的性质巧妙地解决了“不同三的幂相加”的问题。核心思想是用数字的三进制表示来判断是否存在重复的三的幂，算法简单且效率极高。

你可以利用这个思路扩展到类似的题目，比如判断是否可以表示为不同的二的幂（即判断是否为二进制数中只含0和1的数字）等。