1690. 石子游戏 VII

目录

【算法题解】石子游戏 VII：最大得分差的博弈问题

题目描述

题目举例（示意）

解题分析

解决思路：动态规划

定义状态

状态转移

边界条件

预处理优化

代码实现

复杂度分析

示例说明

小结

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【算法题解】石子游戏 VII：最大得分差的博弈问题

题目描述

在「石子游戏 VII」中，爱丽丝和鲍勃轮流从一排石子中取走石子，爱丽丝先手。共有 n 块石子，排成一排，每块石子有一个整数值。两人轮流行动，每次只能从当前石子行的最左端或最右端拿走一个石子。

关键规则：

• 拿走石子后，该玩家获得的得分等于剩余石子值之和。
• 当没有石子可以拿时游戏结束。
• 两人都采用最优策略，爱丽丝希望最大化最终得分差（爱丽丝得分 - 鲍勃得分），而鲍勃想尽量减少这个差值。

请你计算，在双方都最优的情况下，最终的得分差是多少。

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题目举例（示意）

假设石子行是 [5, 3, 1, 4, 2]，

• 初始总和为 5 + 3 + 1 + 4 + 2 = 15。
• 爱丽丝先手，可以取左边的 5 或右边的 2，但拿走后得分是剩余石子的和，不是石子本身的值。
• 如果爱丽丝拿走左边的 5，剩余石子为 [3, 1, 4, 2]，得分为 10。
• 如果拿走右边的 2，剩余石子为 [5, 3, 1, 4]，得分为 13。
  然后鲍勃继续选，双方都尽力最大化各自利益，最终求出差值。

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解题分析

这是一个典型的博弈问题，要求双方在最优策略下对差值的最大化（或最小化）。

关键点在于：

• 当前玩家拿走的是石子，但获得的是剩余石子的值之和。
• 这意味着玩家的得分依赖于剩下的石子和，与常见“拿走石子直接得分”不同。
• 玩家选择后，局面缩小，转由对手进行同样的选择。
• 我们希望计算最终两人得分的差值。

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解决思路：动态规划

定义状态

令 dp[i][j] 表示当前玩家面对区间 [i, j] 的石子时，能获得的最大得分差。这里的得分差是“当前玩家得分 - 另一个玩家得分”。

状态转移

当前玩家可以从区间两端取石子：

• 取左端 stones[i]：
  玩家获得的得分是剩余石子和，即区间 [i+1, j] 的和 sum(i+1,j)。
  之后剩下 [i+1, j]，轮到对手操作，对手能取得的最大差值是 dp[i+1][j]，这对当前玩家来说是负数（对手得分 - 当前玩家得分）。
  因此取左端的净得分差为：
  sum(i+1,j) - dp[i+1][j]
• 取右端 stones[j]：
  同理，得分为 sum(i, j-1)，后续差值为 dp[i][j-1]，净得分差：
  sum(i, j-1) - dp[i][j-1]

最终选择两者中较大的作为 dp[i][j]：

dp[i,j]=max⁡(sum(i+1,j)−dp[i+1,j],sum(i,j−1)−dp[i,j−1])dp[i,j] = \max\big( sum(i+1,j) - dp[i+1,j],\quad sum(i,j-1) - dp[i,j-1] \big)

边界条件

当区间只剩一个石子，即 i == j，当前玩家拿走这唯一石子后，没有剩余石子，得分为0：

dp[i,i]=0dp[i,i] = 0

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预处理优化

计算区间和 sum(i,j) 可以通过前缀和数组 prefix_sum 优化，使得求区间和变成 O(1) 时间。

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代码实现

from typing import List

class Solution:
    def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
        n = len(stones)
        
        # 计算前缀和，prefix_sum[i] 表示 stones[0:i] 的和
        prefix_sum = [0] * (n+1)
        for i in range(n):
            prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + stones[i]
        
        def get_sum(i, j):
            return prefix_sum[j+1] - prefix_sum[i]
        
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]
        
        # 处理区间长度从2到n
        for length in range(2, n+1):
            for i in range(n - length + 1):
                j = i + length - 1
                # 取左边石子
                left_choice = get_sum(i+1, j) - dp[i+1][j]
                # 取右边石子
                right_choice = get_sum(i, j-1) - dp[i][j-1]
                dp[i][j] = max(left_choice, right_choice)
        
        return dp[0][n-1]

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复杂度分析

• 时间复杂度：
  外层循环枚举区间长度 O(n)，内层循环遍历起点 O(n)，状态转移常数时间，整体 O(n^2)。
• 空间复杂度：
  使用了 dp 二维数组和 prefix_sum 数组，空间为 O(n^2)。

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示例说明

以输入 [5, 3, 1, 4, 2] 为例：

• 总和为 15。
• 爱丽丝先手，选择拿左边 5 或右边 2。
• 拿左边剩余 [3,1,4,2]，得分为 10。拿右边剩余 [5,3,1,4]，得分为 13。
• 然后轮到鲍勃，他会做出最佳反制选择。
• 最终 dp 计算得到爱丽丝和鲍勃得分差最大为 8（具体过程依赖递归展开和状态转移）。

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小结

• 这题是一类典型的两人博弈动态规划问题。
• 状态设计核心是「当前玩家最大得分差」，利用「取石后剩余石子和减去对手最优差值」构建转移。
• 使用前缀和优化区间和计算。
• 代码简洁且高效，适合掌握博弈 DP 模板。