1654. 到家的最少跳跃次数

目录

跳蚤跳跃问题：带约束的最短路径搜索详解

题目描述

题目难点与分析

解题思路

状态定义

状态转移

约束判断

限制搜索范围

代码实现（Python）

复杂度分析

示例说明

小结与拓展

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跳蚤跳跃问题：带约束的最短路径搜索详解

题目描述

假设有一只跳蚤，它的家在数轴上的某个位置 x。跳蚤从位置 0 出发，目标是跳到它的家。跳跃规则如下：

• 跳蚤可以向前跳恰好 a 个位置（往右跳）。
• 跳蚤可以向后跳恰好 b 个位置（往左跳）。
• 不能连续两次向后跳。
• 跳蚤不能跳到 forbidden 数组中指定的位置。
• 跳蚤可以跳出它家的位置（即可以跳过 x），但不能跳到负数的位置。

给定整数数组 forbidden，表示跳蚤不能跳到的位置，以及整数 a、b、x，请返回跳蚤跳到 x 的最少跳跃次数。如果无法到达，返回 -1。

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题目难点与分析

本题是一个带有复杂约束的最短路径搜索问题：

• 状态限制：跳蚤不能连续两次往后跳，这限制了跳跃的连续模式。
• 禁止跳跃位置：forbidden 数组给定了禁止跳跃的位置，跳到这些位置无效。
• 空间范围限制：数轴是无限的，跳蚤可以跳出 xx，但不能跳到负数，搜索范围不确定。
• 多状态变量：不仅要考虑当前位置，还要考虑上一次跳跃是否为后跳。

这些因素使得简单的 BFS 直接用位置做状态不够，需要额外状态信息来判断“是否连续后跳”。

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解题思路

状态定义

用 (pos, back) 来表示跳蚤的状态：

• pos 表示当前跳蚤所在位置
• back 是布尔值，表示跳蚤上一次是否刚后跳（True 表示是后跳，False 表示非后跳）

状态转移

从状态 (pos, back) 可以跳跃到：

• 向前跳：跳到 pos + a，后退状态设为 False。
• 向后跳：如果上一次不是后跳 (back == False)，则可以跳到 pos - b，后退状态设为 True。

约束判断

• 新位置不能是 forbidden 中的点
• 新位置不能小于 0
• 跳跃次数最小，因此采用 BFS 遍历，保证首次到达目标即为最短跳跃次数。

限制搜索范围

理论上，跳蚤可以无限向前跳，为防止搜索空间过大，我们定义一个最大边界 limit：

limit=max⁡(max⁡(forbidden)+a+b,x+b)

即最大禁止位置附近再多跳几个单位，或目标位置附近稍作缓冲。

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代码实现（Python）

from collections import deque

class Solution:
    def minimumJumps(self, forbidden: list[int], a: int, b: int, x: int) -> int:
        forbidden_set = set(forbidden)
        limit = max(max(forbidden, default=0) + a + b, x + b)
        
        # BFS 队列元素格式：(位置, 是否刚后跳, 跳跃次数)
        queue = deque([(0, False, 0)])
        visited = set([(0, False)])  # 记录访问状态，避免重复
        
        while queue:
            pos, back, steps = queue.popleft()
            
            # 到达目标
            if pos == x:
                return steps
            
            # 向前跳
            forward = pos + a
            if forward <= limit and forward not in forbidden_set and (forward, False) not in visited:
                visited.add((forward, False))
                queue.append((forward, False, steps + 1))
            
            # 向后跳（仅当上一步不是后跳）
            backward = pos - b
            if not back and backward >= 0 and backward not in forbidden_set and (backward, True) not in visited:
                visited.add((backward, True))
                queue.append((backward, True, steps + 1))
        
        return -1

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复杂度分析

• 时间复杂度：
  搜索范围被限制为 limit，最多访问每个位置两次（后退状态 True 或 False），所以时间复杂度约为 O(limit)。
• 空间复杂度：
  需要存储访问状态和 BFS 队列，空间复杂度也为 O(limit)。

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示例说明

假设输入：

forbidden = [14, 4, 18, 1, 15]
a = 3
b = 15
x = 9

• 起点是0，目标9
• forbidden禁止跳的点包括1,4,14,15,18
• 跳跃规则：前跳3步，后跳15步，且不能连续后跳

BFS遍历过程（简化）：

• 起点0，后退状态False，步数0
• 可以向前跳到3，向后跳不可行（会到负数）
• 从3开始，向前跳6，向后跳0（不连续后退条件满足）
• 从6开始，向前跳9（达目标），完成

最短跳跃次数为3次。

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小结与拓展

• 本题典型应用了 BFS 寻找带额外状态的最短路径问题。
• 需要额外状态记录来解决“不能连续后跳”的限制。
• 通过合理限定搜索边界，有效避免爆炸搜索空间。
• 代码实现中，使用集合 visited 存储 (位置, 是否后跳) 状态，保证了 BFS 的正确性与效率。