1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位-优快云博客

LeetCode 1545 | 找出递归构造二进制字符串的第 k 位字符

计算 reverse(invert(Sₙ₋₁)) 中对应字符的位置

LeetCode 1545 | 找出递归构造二进制字符串的第 k 位字符

题目描述

给定两个正整数 n 和 k，定义一个二进制字符串序列 {S_i} 如下：

S₁ = "0"
对于 i > 1，Sᵢ = Sᵢ₋₁ + "1" + reverse(invert(Sᵢ₋₁))

其中：

+ 表示字符串拼接
reverse(x) 表示字符串 x 反转
invert(x) 表示将字符串 x 中的每一位 0 变成 1，1 变成 0

例如，序列的前 4 项为：

S1 = "0"
S2 = "011"
S3 = "0111001"
S4 = "011100110110001"

题目要求返回字符串 Sₙ 的第 k 位字符（1-indexed）。保证 k 一定在 Sₙ 长度范围内。

解题分析

这是一个递归定义的字符串问题，我们想直接求出 Sₙ 的第 k 位，而不需要完整构造整个字符串（长度随 n 指数增长，效率极低）。

字符串长度规律

观察 Sₙ 的长度：

|S₁| = 1
|S₂| = |S₁| + 1 + |S₁| = 3
|S₃| = |S₂| + 1 + |S₂| = 7
|S₄| = |S₃| + 1 + |S₃| = 15

长度满足：

Lₙ = 2 * Lₙ₋₁ + 1
L₁ = 1

推导得：

Lₙ = 2^n - 1

结构拆分和定位

Sₙ 的结构：

Sₙ = Sₙ₋₁ + "1" + reverse(invert(Sₙ₋₁))
长度 Lₙ = 2 * Lₙ₋₁ + 1

考虑第 k 位（1-indexed）的位置：

如果 k ≤ Lₙ₋₁，那么第 k 位是 Sₙ₋₁ 的第 k 位。
如果 k == Lₙ₋₁ + 1，那么第 k 位是中间的 '1'。
如果 k > Lₙ₋₁ + 1，则第 k 位位于 reverse(invert(Sₙ₋₁)) 中。

计算 `reverse(invert(Sₙ₋₁))` 中对应字符的位置

reverse(invert(Sₙ₋₁)) 的长度也是 Lₙ₋₁。

设：

pos = k - (Lₙ₋₁ + 1)

表示第 k 位在 reverse(invert(Sₙ₋₁)) 中的位置（从左到右）。

因为该部分是反转的，即第 pos 位对应 Sₙ₋₁ 的第：

mirror_pos = Lₙ₋₁ - pos + 1

位。

同时，由于是 invert 操作，需要将该位取反：

如果 Sₙ₋₁[mirror_pos] 是 '0'，结果是 '1'；
如果是 '1'，结果是 '0'。

解题方法

通过以上分析，我们可以用递归来解决问题。

伪代码逻辑：

def get_char(n, k):
    if n == 1:
        return '0'
    length = 2^n - 1
    left_len = (length - 1) // 2

    if k <= left_len:
        return get_char(n - 1, k)
    elif k == left_len + 1:
        return '1'
    else:
        pos = k - left_len - 1
        mirror_pos = left_len - pos + 1
        c = get_char(n - 1, mirror_pos)
        return invert(c)

代码实现（Python）

class Solution:
    def findKthBit(self, n: int, k: int) -> str:
        if n == 1:
            return '0'
        length = (1 << n) - 1  # 2^n - 1
        left_len = (length - 1) // 2

        if k <= left_len:
            return self.findKthBit(n - 1, k)
        elif k == left_len + 1:
            return '1'
        else:
            pos = k - left_len - 1
            mirror_pos = left_len - pos + 1
            c = self.findKthBit(n - 1, mirror_pos)
            return '1' if c == '0' else '0'