面试题 08.01. 三步问题

三步问题 —— 动态规划详解（含滚动数组优化）

题目描述

有一个小孩正在上楼梯，楼梯总共有 n 阶台阶。小孩一次可以选择上 1 阶、2 阶或3阶。
请实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。

由于结果可能非常大，需要对结果取模 109+710^9+7 (1000000007)。

示例 1：

输入：n = 3
输出：4
说明：总共有4种走法：(1,1,1)、(1,2)、(2,1)、(3)

示例 2：

输入：n = 5
输出：13

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解题思路分析

这个题目明显符合动态规划（Dynamic Programming, DP）模型：

• 子问题：到达第 i 阶台阶的方法数，依赖于到达 i-1、i-2、i-3 阶的方法数。
• 状态定义：设 dp[i] 表示到达第 i 阶台阶的方法数。

状态转移方程：

• dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]+dp[i−3]
• 边界条件：

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