2748. 美丽下标对的数目

如何高效地统计“美丽下标对”？一次算法优化思路全记录

在日常刷题或面试中，我们经常会遇到一些需要数对统计的问题，今天分享一个关于“美丽下标对”的题目，并通过从暴力解法到线性优化的思路，一步步优化，最终达到最优解法。

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🧩 题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums。

我们定义一组 美丽下标对(i, j) 满足：

• 0 ≤ i < j < nums.length
• nums[i] 的 第一个数字 和 nums[j] 的 最后一个数字 是 互质数

返回 nums 中 美丽下标对 的总数。

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💡 互质数的定义

两个整数互质：gcd(a, b) == 1，即它们没有大于 1 的公因数。

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🧠 思路一：暴力解法（O(n²)）

✅ 解法逻辑：

1. 枚举所有 i < j 的组合；
2. 获取 nums[i] 的第一个数字；
3. 获取 n