树状数组

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)级别的区间统计的数据结构，在思想上类似于线段树。
相比线段树，树状数组需要的空间较少，编程复杂度也较低，但适用范围比线段树小。

来观察一下这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
...
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质，下午推了一下发现：
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x)

{

   return x&(x^(x–1));

}

利用机器补码的特点，这个函数可以改得更方便

int lowbit(int i)

{

   return i&(-i);

}

如果要把a[n]增加m，可以通过调用如下函数实现

void add(int i,int v)

{

   while (i<=n)

   {

      a[i]+=v;

      i+=lowbit(i);

   }

}

如果要统计a[1]到a[n]之间的和，可以通过调用如下函数实现

int sum(int i)

{

   int s=0;

   while (i>0)

   {

      s+=a[i];

      i-=lowbit(i);

   }

   return s;

}

这是一维的情况，很容易能推广到二维。

POJ上用到树状数组的题目：

poj2352 Stars
poj2481 Cows
poj1195 Mobile phones
poj3067 Japan

poj2155 Matrix
poj2464 Brownie Points II