UVALive - 7040 Color 【容斥定理】

最新推荐文章于 2022-04-12 22:05:46 发布

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容斥定理

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本文介绍了一种基于组合数学原理的染色方案计数算法，该算法通过递推公式计算在给定颜色数量和格子数量的情况下，所有可能的不同染色方案数目，特别是那些恰好使用指定数量颜色的情况。

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$f(k)=k*(k-1)^{n-1}=选择不超过k种颜色,相邻颜色不同,染n个格子的方案数$
$(第一个格子有k种选择,之后n-1个格子有k-1种颜色可以选)$
$恰好使用了k种颜色的方案数=f(k)-(不用颜色1+不用颜色2+...)+(不用颜色1和2+不用颜色1和3+...)-...$
$ans=f(k)-C_k^{k-1}f(k-1)+C_k^{k-2}f(k-2)-....$
$ans=f(k)+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^iC_k^{k-i}f(k-i)$

#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) ((x)&-(x))

using namespace std;

const int inf=1e9+7;
const int N =  1e6+5;
const int M = 5e5;

ll qPow(ll a,ll n){
    ll ans=1;
    ll t=a%inf;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=(ans*t)%inf;
        }
        t=(t*t)%inf;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}


ll ny(ll a){//逆元
    return qPow(a,inf-2);
}

ll fact[N];

void initFact(){
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<N;++i){
        fact[i]=((ll)i*fact[i-1])%inf;
    }
}

ll C(int n,int k){
    if(k>n){
        return 0;
    }
    ll fz=fact[n];
    ll fm=(fact[k]*fact[n-k])%inf;
    fm=ny(fm);
    return (fz*fm)%inf;
}

ll Cb(int n,int k){
    if(k>n){
        return 0;
    }
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<k;++i){
        ans=(ans*(n-i))%inf;
    }
    ll fm=fact[k];
    fm=ny(fm);
    return (ans*fm)%inf;
}

ll f(ll k,int n){
    ll t=(k*qPow(k-1,n-1))%inf;
    return t;
}

ll slove(int n,int m,int k){
    ll ans=f(k,n);
    int flag=-1;
    for(int i=1;i<k;++i){
        ll t=(C(k,k-i)*f(k-i,n))%inf;
        ans=(ans+flag*t)%inf;
        flag*=-1;
    }
    return ((ans*Cb(m,k))%inf+inf)%inf;
}

int main()
{
    //freopen("/home/lu/code/r.txt","r",stdin);
    //freopen("/home/lu/code/w.txt","w",stdout);
    int T;
    initFact();
    scanf("%d",&T);
    for(int tt=1;tt<=T;++tt){
        int n,m,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        ll ans=slove(n,m,k);
        printf("Case #%d: %lld\n",tt,ans);
    }
    return 0;
}