四元数，Quaternions，旋转

1 什么是四元数？

四元数的代数及几何定义
四元数是负数的拓展，数学表示为
$$q=(w+xi+yj+zk)$$
也可以表示为标量+向量形式
$$q=(w,\mathbf{v})$$
具有以下性质：
$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$
四元数在几何空间中，可以近似理解为一个四维空间：

2 什么是旋转？

在理解如何使用四元数表示三维旋转之前，首先需要好好理解一下什么是旋转。
设 $p=(x,y,z)$ 是三维空间中的一个点，点 $p$ 也可以描述为坐标原点到该点的向量，描述为 $\mathbf{p}=(x,y,z)$。为理解的方便，我们统一使用向量描述。
将 $\mathbf{p}$ 绕三维空间中的三个基准轴 { x , y , z } \{x,y,z\} {x,y,z}旋转得到新的向量 ${\mathbf{p}}^{\prime }$。要使 ${\mathbf{p}}^{\prime }$是 $\mathbf{p}$的一个旋转， ${\mathbf{p}}^{\prime }$ 需要满足一个条件：

1. 模长相等，即 $|{\mathbf{p}}^{\prime }|=|\mathbf{p}|$

实际上，在任何维度中，旋转就是模长相等的变换，如下图所示

3 基于四元数的三维旋转变换

3.1 使用四元数表示三维旋转

为了更方便的理解四元数是如何让一个三维对象产生旋转的，我们选择从结论倒推其中的数学原理
结论： 设 $q=(w,\mathbf{v})$是一个单位四元数， $p=(x,y,z)$是三维空间中的一个点，。将 $p$ 绕空间中的三个基准轴 { x , y , z } \{x,y,z\} {x,y,z}旋转，得到 $p^{\prime }$。 $p^{\prime }$可以使用下式表示：
$$\begin{array}{r}{p}^{\prime }=qp{q}^{-1}=qp{q}^{\ast }=(w,\mathbf{v})(0,\mathbf{p})(w,-\mathbf{v})\end{array}$$

式中：

• 由单位四元数的定义， $q^{-1}=q^{\ast }$；
• 使用 $w=0$的纯四元数表示三维点 $p=(x,y,z)$，即 $p=(0,\mathbf{p})$
  三维空间中的点都可以使用纯四元数表示，相当于四元数表示的四维空间在$w$维度上坍缩，即$w=0$

接下来证明上述结论
根据我们对空间点/向量旋转的理解(参见本文第2节)，要让 $p^{\prime }$成为 $p$的一个旋转，需要满足两个条件

• 旋转的基本条件：模长相等，即 $|{\mathbf{p}}^{\prime }|=|\mathbf{p}|$
• $p^{\prime }$可以表示一个三维空间中的点，即 $p^{\prime }$是一个纯四元数，即 $p^{\prime }=(0,{\mathbf{p}}^{\prime })$

1. 首先证明 $|{\mathbf{p}}^{\prime }|=|\mathbf{p}|$
   根据四元数的运算性质(参见本文第4节)，由于 $q$是一个单位四元数，容易得：
   $$|p^{\prime }|=|qp{q}^{\ast }|=|q{|}^2|p|=1|p|=|p|$$
2. 然后证明$p^{\prime }=(0,{\mathbf{p}}^{\prime })$
   根据四元数的乘法运算(参见本文第4节)，将式(1)展开，得到：
   $$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{p}^{\prime }& =(w,\mathbf{v})(0,\mathbf{p})(w,-\mathbf{v})\\ & =(-\mathbf{v}\cdot \mathbf{p},w\mathbf{p}+\mathbf{v}\times \mathbf{p})(w,-\mathbf{v})\\ & =(-\mathbf{v}\cdot \mathbf{p}w+(w\mathbf{p}+\mathbf{v}\times \mathbf{p})\cdot \mathbf{v},\sim )\\ & =((\mathbf{v}\times \mathbf{p})\cdot \mathbf{v},\sim )\\ & =(0,\sim )\end{array}\end{array}$$

式中：

• 第三行转第四行，由向量数量积(点乘)的定义， $\mathbf{v}\cdot \mathbf{p}w=w\mathbf{p}\cdot \mathbf{v}$
• 第四行转第五行，由向量外积(叉乘)的定义，三维向量 $\mathbf{v}$叉乘 $\mathbf{p}$后得到的向量将会垂直于三维空间，即位于四元数的 $w$维上，记该向量为 $\mathbf{f}$， $\mathbf{f}$与$\mathbf{v}$垂直，固$(\mathbf{v}\times \mathbf{p})\cdot \mathbf{v}=\mathbf{f}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{f}||\mathbf{v}|cos(90)=0$
  

至此，式(1)所示结论成立，使用单位四元数可以以式(1)的形式表示一个三维对象的旋转

3.2 四元数表示旋转的几何描述

[暂时不需要用到此知识，之后有机会补充]

4 四元数的运算性质

[基础知识，之后有机会补充]

• 模长
• 乘法运算
• ……

5 尾注

5.1 参考材料

• 点云配准(四)
  四元数与旋转变换_四元数转动变换_阿阿阿安的博客-优快云博客

• 四元数——旋转

5.2 相关阅读

• 四元数、欧拉角和旋转矩阵
• ……

5.3 Q&A

• ……