ICPC NEAU Programming Contest 2020~~ E. 随便置换-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Long_hen/article/details/106663880

本文探讨了如何解决一个特定的算法问题，即找到满足特定条件的排列p，使得通过排列a和p的乘法得到的序列c符合题目要求。文章详细解释了问题的背景、输入输出描述以及解题思路，包括如何利用环的概念和欧几里得最大公约数算法来判断解的存在性，并提供了一段C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

$>一个n的排列a1,a2,...,an，求一个nnn的排列p1,p2,...,pn，定义排列的乘法c=a×bc=a\times{b}c=a×b表示ci=baic_i=b_{a_i}ci=bai$

输入描述

第一行输入一个整数TTT，代表有TTT组测试数据对于每一组测试数据，第一行输入2个整数n,m，第二行输入一个n的排列ai

输出描述

对于每组测试数据，如果存在满足要求的排列p，第一行输出YES，第二行输出n个整数pi
如果存在多种可能的排列p，可以输出任意一个
如果不存在满足要求的排列p，在唯一的一行中输出NO

数据范围

1≤T≤1000
1≤m≤n≤2⋅10⁵
∑n≤2⋅10⁵

本题答案不唯一，符合要求的答案均正确
样例输入

3
7 2
5 3 6 2 7 1 4
3 2
1 3 2
6 3
1 2 3 4 5 6

样例输出

YES
4 1 5 6 2 7 3
NO
YES
3 6 5 2 1 4

样例一：把数组a进行m次操作的过程列出来，
1 -> ? -> 5
2 -> ? -> 3
3 -> ? -> 6
4 -> ? -> 2
5 -> ? -> 7
6 -> ? -> 1
7 -> ? -> 4
整合到一起（成环）（可能是多个环）：
1 -> ? -> 5 -> ? -> 7 -> ? -> 4 -> ? -> 2 -> ? -> 3 -> ? -> 6 -> ? -> 1……
发现环的长度是l = 7，即b[i] = b[i+l]，所以就有：
b[1] = 1，b[2] = b[9] = 2，
b[3] = 5，b[4] = b[11] = 3，
b[5] = 7，b[6] = b[13] = 6，
b[7] = 4，b[0] = b[7] = 1，
带入公式（p[ b[i] ] = b[i-1]，（公式讲解：题目给出的公式是 a[i] = p[ a[i] ]，在环里，前面的a[i] = b[i-1]，后面的a[i] = b[i],也就是 b[i-1] = p[ b[i] ] --> p[b[i]] = b[i-1]. ））
p[2] = 1，p[5] = 2，p[3] = 5，p[7] = 3，p[6] = 7，p[4] = 6，p[1] = 4;
即4 1 5 6 2 7 3
模拟这个过程，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e6+1;
int a[maxn], b[maxn], p[maxn], f[maxn], cnt[maxn];

int Find(int n) {
    if (f[n] == n) return n;
    return f[n] = Find(f[n]);
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T --) {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            f[i] = i;
            cnt[i] = 0;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            scanf("%d", &a[i]);
            if (Find(i) != Find(a[i])) {
                f[i] = f[a[i]];
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            cnt[Find(f[i])] ++;
        }
        int flag = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            if (cnt[i] == 0) continue; 
            int l = cnt[i];
            if (__gcd(l, m) != 1) { // 出现无解情况
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if (flag == 0) {
            printf("NO\n");
            continue;
        }
        printf("YES\n");
        for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
            if (cnt[i] == 0) continue;
            int w = i, l = cnt[i];
            cout << w << endl;
            for(int j = 0; j < l; ++ j) {
                b[1ll * j * m % l] = w; // 每后移m位进行赋值
                w = a[w]; // 枚举环中节点
            }
            b[l] = b[0];
            for(int j = 1; j <= l; ++ j) {
                p[b[j]] = b[j-1]; 
            }
        }
        for(int i = 1; i < n; ++ i) {
            printf("%d ", p[i]);
        }
        printf("%d\n", p[n]);
    }
    return 0;
}