CCPC2019河南省赛~~ 2523 咕咕的计数题 II

最新推荐文章于 2022-05-03 19:13:01 发布

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本文探讨了一道关于初等数论的数学问题，重点在于理解下取整函数的特性及如何计算在指定区间内满足特定条件的正整数数量。通过分解和计算技巧，提供了一种有效解决该类问题的方法。

题目描述：

咕咕最近在学习初等数论，并且对下取整函数产生了极大的兴趣。下取整函数是指一个函数，自变量为一个实数，因变量为一个整数，这个整数恰好是小于或等于自变量的最大的整数，通常记做 ⌊x⌋。例如， ⌊2.5⌋ = 2,⌊2⌋ = 2,⌊−2.5⌋ = −3。
咕咕发现，给定一个 a，并不是所有的自然数 n 都存在一个正整数 i 使得 ⌊n/i⌋ = a。那么，如果给定 l,r，咕咕好奇在区间 [l,r] 中有多少个正整数能使这个等式有正整数解 i 呢？
那么，聪明的你，你能告诉咕咕吗？

输入

第一行有一个整数 T(1 ≤ T ≤ 106)，表示数据组数。接下来有 T 行，每行有三个数 a,l,r(1 ≤ a ≤ 1018,1 ≤ l ≤ r ≤ 1018)，表示一组询问。

输出

输出 T 行，对每组询问，输出一个整数表示答案。

样例输入 Copy

4
5 7 10
7 39 42
1000 1000 1000
27 100 1000

样例输出 Copy

1
2
1
617

思路：首先将n进行分解，n=ai+j（0 <= j <a），但若想使 a=⌊(ai+j)/i⌋ 成立j需要满足 0 <= j < i，且当i>=a时所有的j都成立，当i<a时只有i个j成立。
然后我们对区间两端点分别求值相减即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long f(long long a, long long x) {
    long long t = x / a; 
    if (t >= a) return x-(a-1)*(a+2)/2; // (a-1) + (a-1)*a/2  分别是i=0和i>0时不满足条件的n的个数
    return (t-1)*t/2 + min(t, x-a*t+1); // 直接算满足条件的n的个数
}
 
int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T --) {
        long long a, l, r;
        scanf("%lld%lld%lld", &a, &l, &r);
        printf("%lld\n", f(a,r) - f(a,l-1));
    }
    return 0;
}