<考试题> codevs 5251 WYW的数字金字塔

数字金字塔的构造与计数

最新推荐文章于 2022-01-28 13:16:16 发布

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该博客主要介绍了如何根据给定条件构造数字金字塔，以及解决此类问题的暴力和动态规划(DP)两种解法。博主通过实例解析了输入输出描述，并给出了样例输入和输出。文章讨论了在不同测试数据下，可能的金字塔数量以及最高金字塔的高度。最后，提供了两种解决方案的代码实现。

*PS：原来暴力优化优化是可以过的么qwq，ljoj 数据手动测并没有T。。。最后默默的吐槽一句，附上一个金字塔的图是因为怕我们没有见过吗。。。

go to the problem

题目描述 Description

wyw有一个数字n，他要用这个数字写出一个数字金字塔。

wyw用随机数生成器生成了一个小于n且大于1的正整数k。

wyw找来一张白纸，他在白纸的最低端写下了这个数字n。

wyw在n的上面紧挨着写下了一个正整数a1，a1满足不大于n/k，

wyw又在a1上面写下了一个正整数a2，满足a2不大于a1/k，

时间过了t…

wyw在ah-1的上面写下了一个正整数ah，满足ah不大于ah-1/k

wyw已经无法在ah的上方写出不大于ah/k的数字了

这时，wyw就已经写好了一个高度为h（这里应该为h+1）的数字金字塔

wyw可以按照这个规则写出好多符合条件的数字金字塔。

试问：wyw一共能够写出多少种数字金字塔？wyw能写出的所有的数字金字塔中最高的金字塔的高度是多少？

注意：由于答案可能较大，所以对每一组数据请输出答案对p取模后的值。

输入描述 Input Description

输入数据的第一行包含两个正整数T、p，表示有T组测试数据，p的意义如题目所述

后面跟着T组数据，每组数据仅一行，包含了一个正整数n和k，意义如题目所述

输出描述 Output Description

输出数据一共n行，每行两个整数，表示答案对p取模后的值

样例输入 Sample Input

2 2

6 2

20 3

样例说明：以20 3这组数据为例，wyw能写出的所有金字塔如下

这里写图片描述

样例输出 Sample Output

1 1

数据范围及提示 Data Size & Hint

这里写图片描述

Solution 1 暴力

（codevs 上会T3个点，但手动测了测根本就没T 。。。qwq）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long T,k;
long long n=0,p,cnt;
int f[50000010];

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&T,&p);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        int z=n/k;
        f[0]=0;
        for(int i=1;i<=2*k-1;++i) f[i]=1;  // 2*k之前都只能放一个，只有一种方案。
        for(int i=2*k;i<=z+1;++i) f[i]=0;
        for(int i=2*k;i<=z;++i)  // 递推
            for(int j=i/k;j>=1;--j) 
               f[i]=(f[i]%p+f[j]%p)%p;
        for(int i=1;i<=z;++i) f[0]=(f[0]%p+f[i]%p)%p; //用0存防止爆空间
        if(!f[0]) ++f[0]; // 只能放n也是一种方案
        printf("%lld ",f[0]%p);
        cnt=1;
        while(n/k)
        {
            n/=k;
            cnt=(cnt+1)%p;
        }
        printf("%lld\n",cnt);
    }
    return 0;
}

Solution 2 DP

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

long long T,P,n,k;
int S[500020];

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&T,&P);
    S[0]=S[1]=1;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        int N=n/k,ans2=1;
        for(int i=2;i<=N;++i)
          S[i]=(S[i-1]+S[i/k])%P;
        while(n/k) 
        {
            n/=k;
            ans2=(ans2+1)%P;
        }
        printf("%d %lld\n",S[N],ans2);
    }
    return 0;
}
/*
用数组s[i]表示以不大于i为底的数字所达到的方案数之和。
F[i]表示以某一数字（i）为底的方案数。
而F[i]恰好为s[i/k].
所以方程式为：s[i] = s[i–1] + f[i];  （类似前缀和）

PS：这里直接把f换成了s
*/