图的一因子

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Tutte 一因子  >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Tutte 一因子定理:

对于任意点集 S ∈V( G ),满足 o( G - S ) ≤ | S |,则 G 存在一因子。( o代表分量中点数为奇数的分量个数 )


证明:

必要性:

很显然,若是 G 存在一因子,G - S 中的奇分量的个数必然要小于S的个数,不然 G - S 中的某个奇分量中的点得不到匹配。

充分性:

反证,假设 G 满足任意 S,o( G - S ) ≤ | S |,但是 G 不存在一因子。但是在 G 中添加一条边变成 G*,会导致 G* 中的奇分量个数减少或者不变,o( G* - S ) ≤ o( G - S ) ≤ | S |。然后将 G* 变成满足 Tutte 定理,但是无一因子的极大图( 即再添加一条边就能产生一因子 )。

只需要证明这时候 G* 确实存在一因子即可。构造特殊点集 S,满足其中的点的度为 n( G ) - 1。(可以为空集 )

情况1: G - S 是完全图的并。

G - S 中的偶团,必然存在一因子。由于 o( G - S ) ≤ | S |,奇团中的无法得到匹配的点能够与 S 中的点得到匹配,那么已经匹配的点为偶数个。

S 中剩下的点数肯定是偶数,由于其度都为 n( G ) - 1,能匹配,若是S中剩下的点数为奇数,那么 G 的点数则为奇数,对于奇数点的 G 不可能满足图特条件。

情况2: G - S含有非完全图分量。

那么 G - S 中必然存在点 x 和点 y 不相交,x 和 y 同时邻接与点 w,但是 G - S 中必然还存在一点 z 与 w 不相邻,否则 w 的度则为 n( G ) - 1,就在S中了。

设 M1 为 G + xy 得到的一因子,M2 为 G + wz 得到的一因子。F =  M1 Δ M2( Δ为对称差,图的异或 )。F必然是孤立点和偶环组成的图

( 偶环是因为同一个 G 的两个完美匹配的环合必然是偶环,且是不同完美匹配的边交错组成的 )。设 C 是包含 xy 不包含 wz 的环,那么可以有  C 中不含 M1 的边和 C 外的 M2 组成一因子。若是 C 中同时包含 xy 和 wz ,

由于环中的边是不同完美匹配的边交错组成的,可是 xy 间 wz 只有一边的距离,

那么xy 和 wz 应该实在一个M1或者M2 里面的,可是他们分别在 M1 和 M2 中,所以矛盾。



<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Edmonds 偶阶图一因子 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Edmonds 偶阶图一因子定理:

一个偶阶图存在一因子当且仅当对于 V( G ) 的任意子集 S 都存在 G - S 的因子临界分支数(factor-critical component)小于 S 的大小。即 fc( G - S ) ≤ | S |.


证明:

必要性:

因为每个因子临界分支都是奇分支,由 Tutte' 1-factor 可知其必要性。

充分性:

假设 G 不存在 1-factor,那么必然存在一个不为 ∅ 的子集 S,使得 o( G - S ) > | S |.

那么对于满足 o(G - S' ) ≤ | S' | , S0   S' V( G ) 的情况,选择其极大集合的S0,

下面要证明 G -S0中没有偶分支和 G - S0 中的每个分支都是因子临界分支(fc( G - S0 ) = o( G - S0 ))。

假设存在一个偶分支 C,选择 C 的任意一点 v,对每一个 T V( C - v ) 都有

|S0 | + 1 + | T | 

≥ o( G - (S0 ∪ { v } ∪ T ) ) 

= o( G -S0 ) - 1 + o( G - ( { v } ∪ T ) )

> |S0 | - 1 + o( ( C - v ) - T )

因此 o( ( C - v ) - T ) < | T | + 2 由 o( G - S ) + | S |  V( G ) mod 2 可得 o( ( C - v ) - T ) ≤ | T |,

所以 C - v 存在一因子,所以 C 因子临界,fc( G - S0 ) = o( G - S0 ) > | S0 |,与原本假设相矛盾。



<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Anderson 偶阶图一因子 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Anderson 偶阶图一因子:

对于阶数为 n 的偶阶图 G ,若对于满足 | S | ≤ ( 3 / 4 ) * n 的任意点集 S 有性质 | NG ( S ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S |,则 G 有 1-factor。


证明:

若是 G 不存在 1-factor, 那么必然存在一个集合  S0 满足 o( G -S0 ) > | S0 |

case 1:S0 | ≥ n / 4

设 S = V( G ) -S0  ,则 | S | ≤ ( 3 / 4 ) * n ,则 | NG ( S ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S |,

则有 ( 4 / 3 ) * ( n - | S0 | ) ≤ | NG ( G -S0 ) | ≤ n - i( G -S0 ),

得 i( G - S0 ) ≤ ( 4 / 3 ) * | S0 | - ( 1 / 3 ) * n.

因为 n ≥ | S0 | + i( G -S0 ) + 3 * ( o( G - S0 ) - i( G - S0 ) ),(觉得资料上因果关系 thus 用的不太好)

所以 n > | S0 | + 3 * | S0 | - ( 8 / 3 ) * | S0 | + ( 2 / 3 ) * n.

得 | S0 | < ( 1 / 4 ) * n,矛盾。

case 2:| S0 | < ( 1 / 4 ) * n

设 S = V( G ) - S0  ,则 | S | > ( 3 / 4 ) * n,设 S' 为大小为 ( 3 / 4 ) * n 的 S 的子集。

| NG ( S' ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S' | = n,所以 V( G )  NG ( S ),所以 S 与 G 中的所有点邻接。

G - S0 中无孤立点,由偶图中 o( G - S0 )  | S0 | mod 2,得到 G - S0 中至少有 S0 + 2 个奇分量,

且每个分量至少有 3 个顶点,在这些分量重去掉一个分量,设剩下的分量的顶点的并为 h,

则 h ≥ 3 * | S0 | + 3,但是他们邻接的顶点至多为 h + | S0 | ≤ h + ( 1 / 3 ) * ( h - 3 ) < ( 4 / 3 ) * h,

矛盾。




### 因子图的概念 因子图形化模型,用于表示概率分布函数的因式分解。这类模型由变量节点和因子节点构成,其中变量节点代表随机变量,而因子节点则对应于这些变量之间的局部函数或势能函数[^1]。 在因子图中,每条边连接个变量节点和因子节点,表明该变量参与了特定因子的计算过程。通过这种方式,复杂的联合概率分布可以被简化为多个较小部分的乘积形式,从而使得推理变得更加高效。 ### 应用场景 #### 推荐系统 在构建个性化推荐引擎时,因子图可用于捕捉用户偏好与项目特征间的复杂交互关系。例如,在电影评分预测任务里,可以通过定义合适的潜在因素来描述用户的观影口味以及影片本身的属性;接着利用因子图框架建模并估计相应的参数值,进而实现精准的商品推荐服务[^2]。 #### 强化学习 对于涉及决策制定的任务来说,比如游戏AI或者机器人导航等问题上,因子图同样发挥着重要作用。具体而言,Q-Learning等算法可以在状态空间较大情况下借助因子图来进行近似价值迭代更新操作,帮助智能体更快更有效地找到最优解路径[^3]。 #### 时间序列分析 当处理具有周期性和趋势变化的时间序列数据集时——如股票价格走势或是气象记录——采用基于因子图的方法能够有效分离出不同频率成分的影响效果。以ETS模型为例,其本质上也是通过对原始观测值做加法或乘法规则下的三要素拆分(误差、趋势、季节效应),再结合贝叶斯网络理论建立起完整的因果联系链条,最终达到对未来数值做出合理预估的目的[^4]。 ```python import pgmpy.models as pm from pgmpy.factors.discrete import TabularCPD # 创建个简单的二元因子图实例 factor_graph = pm.FactorGraph() phi_1 = TabularCPD(variable='A', variable_card=2, values=[[0.8], [0.2]]) phi_2 = TabularCPD(variable='B', variable_card=2, values=[[0.5], [0.5]]) factor_graph.add_nodes_from(['A', 'B']) factor_graph.add_factors(phi_1, phi_2) print(factor_graph.get_factors()) ```
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